(sin40 + sin100)/(sin40-sin100)

Для упрощения выражения $\frac{\sin {40}^{\circ }+\sin {100}^{\circ }}{\sin {40}^{\circ }-\sin {100}^{\circ }}$ воспользуемся формулами преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. 1. Формулы Для решения применим следующие тригонометрические тождества:

• Сумма синусов: $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$ Разность синусов: $\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)$

2. Преобразование числителя Подставим $\alpha ={40}^{\circ }$ и $\beta ={100}^{\circ }$: $\sin {40}^{\circ }+\sin {100}^{\circ }=2\sin \left(\frac{{40}^{\circ }+{100}^{\circ }}{2}\right)\cos \left(\frac{{40}^{\circ }-{100}^{\circ }}{2}\right)=2\sin {70}^{\circ }\cos \left({-30}^{\circ }\right)$ Так как косинус — четная функция ( $\cos (-x)=\cos x$), получаем: $2\sin {70}^{\circ }\cos {30}^{\circ }$3. Преобразование знаменателя $\sin {40}^{\circ }-\sin {100}^{\circ }=2\sin \left(\frac{{40}^{\circ }-{100}^{\circ }}{2}\right)\cos \left(\frac{{40}^{\circ }+{100}^{\circ }}{2}\right)=2\sin \left({-30}^{\circ }\right)\cos {70}^{\circ }$ Так как синус — нечетная функция ( $\sin (-x)=-\sin x$), получаем: $-2\sin {30}^{\circ }\cos {70}^{\circ }$4. Упрощение всей дроби Запишем полученные выражения в дробь: $\frac{2\sin {70}^{\circ }\cos {30}^{\circ }}{-2\sin {30}^{\circ }\cos {70}^{\circ }}$ Сократим на 2 и сгруппируем функции: $-\frac{\sin {70}^{\circ }}{\cos {70}^{\circ }}\cdot \frac{\cos {30}^{\circ }}{\sin {30}^{\circ }}$ Используя определения тангенса и котангенса ( $\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$ и $\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$ ): $-\tan {70}^{\circ }\cdot \cot {30}^{\circ }$5. Вычисление окончательного значения Значение $\cot {30}^{\circ }=\sqrt{3}$ является табличным. Следовательно, выражение принимает вид: $-\sqrt{3}\tan {70}^{\circ }$ Если требуется избавиться от тангенса 70 градусов, можно использовать формулы приведения через дополняющий угол: $\tan {70}^{\circ }=\cot {20}^{\circ }$. Тогда ответ: $-\sqrt{3}\cot {20}^{\circ }$ . Нужно ли привести численное значение данного выражения с точностью до знаков после запятой?