Тригонометрия: cosx*cos2x=cos3x

Для решения уравнения $\cos \left(x\right)\cdot \cos \left(2x\right)=\cos \left(3x\right)$ воспользуемся формулами преобразования произведения в сумму и формулой косинуса тройного угла. 1. Преобразование левой части Используем формулу произведения косинусов: $\cos \left(\alpha \right)\cos \left(\beta \right)=\frac{1}{2}\left(\cos \right(\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta \left)\right)$ Применим её для $\cos \left(x\right)\cos \left(2x\right)$: $\frac{1}{2}\left(\cos \right(x-2x)+\cos (x+2x\left)\right)=\cos \left(3x\right)$ $\frac{1}{2}\left(\cos \right(-x)+\cos (3x\left)\right)=\cos \left(3x\right)$ Так как косинус — функция четная ( $\cos (-x)=\cos \left(x\right)$), получаем: $\frac{1}{2}\left(\cos \right(x)+\cos (3x\left)\right)=\cos \left(3x\right)$ 2. Упрощение уравнения Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: $\cos \left(x\right)+\cos \left(3x\right)=2\cos \left(3x\right)$Перенесем все слагаемые в одну сторону: $\cos \left(x\right)+\cos \left(3x\right)-2\cos \left(3x\right)=0$ $\cos \left(x\right)-\cos \left(3x\right)=0$3. Применение формулы разности косинусов Используем формулу: $\cos \left(\alpha \right)-\cos \left(\beta \right)=-2\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)$ Подставим наши значения ( $\alpha =x$, $\beta =3x$): $-2\sin \left(\frac{x-3x}{2}\right)\sin \left(\frac{x+3x}{2}\right)=0$ $-2\sin (-x)\sin \left(2x\right)=0$Так как синус — функция нечетная ( $\sin (-x)=-\sin \left(x\right)$), минусы сокращаются: $2\sin \left(x\right)\sin \left(2x\right)=0$4. Нахождение корней Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: Случай А: $\sin \left(x\right)=0$ $x=\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$Случай Б: $\sin \left(2x\right)=0$ $2x=\pi n$ $x=\frac{\pi n}{2},\text{где}n\in \mathbb{Z}$ 5. Объединение решений Заметим, что множество решений $x=\pi k$ полностью входит в множество решений $x=\frac{\pi n}{2}$ (при четных $n=2k$). Таким образом, общее решение можно записать одной формулой. Ответ: $x=\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ Я могу также проверить эти корни на ОДЗ или помочь с решением аналогичного уравнения, если это необходимо.