Найти производную функции: 1) (3x^2-1/x^3) 2) (x/3+7)^6 ,3) e^x cos x , 4) 2^x/sin x

Ниже представлено подробное решение для нахождения производных указанных функций с применением основных правил дифференцирования. 1. Производная разности: $f\left(x\right)=3x^2-\frac{1}{x^3}$ Для решения представим дробь в виде степени с отрицательным показателем: $x^{-3}$.

1. Запишем функцию: $f\left(x\right)=3x^2-x^{-3}$ Применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$:
   $f^{\prime }\left(x\right)=(3x^2{)}^{\prime }-(x^{-3}{)}^{\prime }$ $f^{\prime }\left(x\right)=3\cdot 2x-\left(-3\right)x^{-4}$ $f^{\prime }\left(x\right)=6x+3x^{-4}$ Вернемся к виду дроби:
   Ответ: $6x+\frac{3}{x^4}$

2. Производная сложной функции: $f\left(x\right)=(\frac{x}{3}+7{)}^6$ Используем правило дифференцирования сложной функции: $(u^n{)}^{\prime }=n\cdot u^{n-1}\cdot u^{\prime }$.

1. Внешняя функция — шестая степень, внутренняя — $(\frac{1}{3}x+7)$ . Вычисляем:
   $f^{\prime }\left(x\right)=6\cdot {(\frac{x}{3}+7)}^5\cdot {(\frac{x}{3}+7)}^{\prime }$ Найдем производную внутренней части: $(\frac{1}{3}x+7{)}^{\prime }=\frac{1}{3}$ . Перемножаем коэффициенты: $6\cdot \frac{1}{3}=2$ .
   Ответ: $2(\frac{x}{3}+7{)}^5$

3. Производная произведения: $f\left(x\right)=e^x\cos x$ Применяем формулу $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

1. Пусть $u=e^x$ и $v=\cos x$. Находим производные множителей:
   • $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
   Подставляем в формулу:
   $f^{\prime }\left(x\right)=(e^x{)}^{\prime }\cdot \cos x+e^x\cdot (\cos x{)}^{\prime }$ $f^{\prime }\left(x\right)=e^x\cos x+e^x(-\sin x)$ Вынесем $e^x$ за скобки для упрощения:
   Ответ: $e^x(\cos x-\sin x)$

4. Производная частного: $f\left(x\right)=\frac{2^x}{\sin x}$ Применяем формулу $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ .

1. Пусть $u=2^x$ и $v=\sin x$. Находим производные:
   • $(2^x{)}^{\prime }=2^x\ln 2$ $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
   Подставляем в формулу:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{(2^x{)}^{\prime }\sin x-2^x(\sin x{)}^{\prime }}{(\sin x{)}^2}$ $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2^x\ln 2\cdot \sin x-2^x\cos x}{{\sin }^{2}x}$ Вынесем $2^x$ за скобки:
   Ответ: $\frac{2^x(\ln 2\sin x-\cos x)}{{\sin }^{2}x}$

Я могу также помочь с вычислением производных более высокого порядка для этих функций или разбором задач на исследование экстремумов. Хотите продолжить работу с этими примерами?