Исследовать фуункцию и построить её график y=(4x^3+5)/x

Для исследования функции $y=\frac{4x^3+5}{x}$ приведем её к более удобному для дифференцирования виду: $y=4x^2+\frac{5}{x}$ 1. Область определения и область значений

• Область определения ( $D\left(y\right)$): Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x\ne 0$.
  $D\left(y\right)=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения. Точка $x=0$ — точка разрыва второго рода.

2. Четность, нечетность и периодичность

• Проверим условие $y(-x)$:
  $y(-x)=4(-x{)}^2+\frac{5}{-x}=4x^2-\frac{5}{x}$ $y(-x)\ne y\left(x\right)$ (не четная) и $y(-x)\ne -y\left(x\right)$ (не нечетная). Функция общего вида. Функция не является периодической.

3. Точки пересечения с осями координат

• С осью $Oy$: Пересечений нет, так как $x\ne 0$. С осью $Ox$: Положим $y=0$:
  $4x^2+\frac{5}{x}=0⟹\frac{4x^3+5}{x}=0⟹4x^3=-5⟹x=-\sqrt[3]{\frac{5}{4}}\approx -1.08$ Точка пересечения: $(-1.08,0)$.

4. Асимптоты

• Вертикальная асимптота: Проверим пределы в точке разрыва $x=0$:
  $\underset{x{0}^{-}}{\lim }(4x^2+\frac{5}{x})=-\infty ,\underset{x{0}^{+}}{\lim }(4x^2+\frac{5}{x})=+\infty$ Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой. Наклонные асимптоты ( $y=kx+b$):
  $k=\underset{x\pm \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\pm \infty }{\lim }(4x+\frac{5}{x^2})=\pm \infty$ Наклонных асимптот нет. При $x\pm \infty$ функция ведет себя как парабола $y\approx 4x^2$.

5. Экстремумы и интервалы монотонности Найдем производную: $y^{\prime }=(4x^2+5x^{-1}{)}^{\prime }=8x-\frac{5}{x^2}=\frac{8x^3-5}{x^2}$ Найдем критические точки ( $y^{\prime }=0$): $8x^3-5=0⟹x^3=\frac{5}{8}⟹x=\frac{\sqrt[3]{5}}{2}\approx 0.85$

• Точка минимума: $x\approx 0.85$. Значение минимума: $y\left(0.85\right)=4(0.85{)}^2+\frac{5}{0.85}\approx 2.89+5.88\approx 8.77$ .

6. Выпуклость и точки перегиба Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }=(8x-5x^{-2}{)}^{\prime }=8+\frac{10}{x^3}=\frac{8x^3+10}{x^3}$ Приравняем к нулю: $8x^3+10=0⟹x^3=-1.25⟹x=-\sqrt[3]{1.25}\approx -1.08$

• Точка перегиба: $x\approx -1.08$ (совпадает с нулем функции, $y=0$).

Сводная таблица для построения

Вид графика:

1. В левой полуплоскости ( $x<0$): график убывает от $+\infty$, проходит через точку перегиба $(-1.08,0)$ и уходит в $-\infty$ вдоль оси $Oy$. В правой полуплоскости ( $x>0$): график приходит из $+\infty$ вдоль оси $Oy$, опускается до локального минимума $(0.85,8.77)$ и резко уходит вверх в бесконечность.

Хотите, чтобы я рассчитал координаты еще нескольких дополнительных точек для более точного эскиза?