Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y=x^2 x=7 y=0 вокруг оси ох

Объем тела вращения составляет $\frac{16807\mathbf{\pi }}{\mathbf{5}}$ кубических единиц (или $3361\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{\pi }$). Шаг 1: Определение формулы и пределов интегрирования Для вычисления объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси $Ox$, используется формула определенного интеграла: $V=\pi {\int }_a^b\left[f\right(x){]}^{2}dx$ Исходя из условий задачи:

1. Функция: $y=x^2$, следовательно, $\left[f\right(x){]}^2=(x^2{)}^2=x^4$. Пределы интегрирования: нижний предел $a=0$ (точка пересечения $y=x^2$ и $y=0$), верхний предел $b=7$ (задан прямой $x=7$).

Шаг 2: Вычисление определенного интеграла Подставим значения в формулу и найдем первообразную функции $x^4$: $V=\pi {\int }_0^7{x}^{4}dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}\right]}_0^7$ Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив верхний и нижний пределы: $V=\pi (\frac{7^5}{5}-\frac{0^5}{5})$ Шаг 3: Финальный расчет Вычислим значение $7^5$: $7^5=7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7=16807$Таким образом, объем равен: $V=\frac{16807\pi }{5}=3361,4\pi$ Ответ: Объем тела вращения равен $3361,4\pi$. Нужно ли вам вычислить приближенное значение с числом $\pi$ или построить график этой фигуры?