Вычислить определенный интеграл от 1 до 2 (4x^3-5x^2+2x+1)/x^2 dx

Чтобы вычислить определенный интеграл ${\int }_1^2\frac{4x^3-5x^2+2x+1}{x^2}dx$ , необходимо сначала упростить подынтегральное выражение, разделив каждое слагаемое числителя на знаменатель. 1. Упрощение выражения Разделим почленно: $\frac{4x^3}{x^2}-\frac{5x^2}{x^2}+\frac{2x}{x^2}+\frac{1}{x^2}=4x-5+\frac{2}{x}+x^{-2}$ 2. Нахождение неопределенного интеграла (первообразной) Теперь найдем первообразную $F\left(x\right)$ для полученной суммы функций:

• $\int 4xdx=4\cdot \frac{x^2}{2}=2x^2$ $\int -5dx=-5x$ $\int \frac{2}{x}dx=2\ln \left|x\right|$ $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}$

Таким образом, общая первообразная: $F\left(x\right)=2x^2-5x+2\ln \left|x\right|-\frac{1}{x}$ 3. Вычисление по формуле Ньютона-Лейбница Подставим пределы интегрирования от 1 до 2: ${\int }_1^2(4x-5+\frac{2}{x}+x^{-2})dx={[2x^2-5x+2\ln |x|-\frac{1}{x}]}_1^2$ Подстановка верхнего предела (x = 2): $F\left(2\right)=2(2{)}^2-5(2)+2\ln (2)-\frac{1}{2}=8-10+2\ln 2-0.5=-2.5+2\ln 2$ Подстановка нижнего предела (x = 1): $F\left(1\right)=2(1{)}^2-5(1)+2\ln (1)-\frac{1}{1}=2-5+0-1=-4$ Разность значений: $I=F\left(2\right)-F\left(1\right)=(-2.5+2\ln 2)-\left(-4\right)$ $I=-2.5+2\ln 2+4=1.5+2\ln 2$Ответ: $1.5+2\ln 2$Приблизительное значение: ~2.886 Могу ли я помочь с решением другого интеграла или разбором конкретного метода интегрирования?