Вычислите значение выраженияlog5(10/11)+log25(242)+log0,2(40 под корнем)

Значение данного выражения равно 0,5. Шаг 1: Приведение всех логарифмов к основанию 5 Для решения преобразуем каждый логарифм так, чтобы в его основании было число $5$. Используем формулу ${\log }_{a^n}\left(b\right)=\frac{1}{n}{\log }_a\left(b\right)$ и ${\log }_{\frac{1}{a}}\left(b\right)=-{\log }_a\left(b\right)$ .

1. Первый член остается без изменений: ${\log }_5\left(\frac{10}{11}\right)$ . Второй член: так как $25=5^2$, получаем ${\log }_{5^2}\left(242\right)=\frac{1}{2}{\log }_5\left(242\right)={\log }_5\left({242}^{\frac{1}{2}}\right)={\log }_5\left(\sqrt{242}\right)$ . Третий член: так как $0,2=\frac{1}{5}=5^{-1}$ , получаем ${\log }_{5^{-1}}\left(\sqrt{40}\right)=-1\cdot {\log }_5\left(\sqrt{40}\right)=-{\log }_5\left(\sqrt{40}\right)$ .

Шаг 2: Применение свойств суммы и разности логарифмов Используем свойства ${\log }_a\left(x\right)+{\log }_a\left(y\right)={\log }_a(x\cdot y)$ и ${\log }_a\left(x\right)-{\log }_a\left(y\right)={\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)$ . Объединим все слагаемые в один логарифм по основанию $5$: ${\log }_5\left(\frac{10}{11}\right)+{\log }_5\left(\sqrt{242}\right)-{\log }_5\left(\sqrt{40}\right)={\log }_5(\frac{10}{11}\cdot \frac{\sqrt{242}}{\sqrt{40}})$ Шаг 3: Упрощение аргумента и вычисление Упростим выражение под знаком логарифма. Заметим, что $\sqrt{242}=\sqrt{121\cdot 2}=11\sqrt{2}$ , а $\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}$ : $\frac{10}{11}\cdot \frac{11\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}=\frac{10\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ Теперь подставим полученный результат в логарифм: ${\log }_5\left(\sqrt{5}\right)={\log }_5\left(5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}=0,5$ Ответ: Значение выражения составляет 0,5. Нужно ли вам проверить решение другого логарифмического уравнения или разобрать свойства степеней?