Найти наибольшее и на меньшее значения функции y=1/3cos^2x-1/3sin^2x+1

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции сначала упростим её выражение, используя тригонометрические формулы. 1. Упрощение функции Исходная функция: $y=\frac{1}{3}{\cos }^{2}x-\frac{1}{3}{\sin }^{2}x+1$ Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}$ за скобки: $y=\frac{1}{3}({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)+1$ Вспомним формулу косинуса двойного угла: $\cos \left(2x\right)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$. Подставим её в уравнение: $y=\frac{1}{3}\cos \left(2x\right)+1$ 2. Определение области значений Для нахождения экстремумов функции воспользуемся известными ограничениями функции косинуса. Для любого аргумента $t$ справедливо неравенство: $-1\le \cos \left(t\right)\le 1$В нашем случае $t=2x$, следовательно: $-1\le \cos \left(2x\right)\le 1$Теперь преобразуем это неравенство, чтобы оно соответствовало виду нашей функции:

1. Умножим все части неравенства на $\frac{1}{3}$ :
   $-\frac{1}{3}\le \frac{1}{3}\cos \left(2x\right)\le \frac{1}{3}$ Прибавим $1$ ко всем частям неравенства:
   $-\frac{1}{3}+1\le \frac{1}{3}\cos \left(2x\right)+1\le \frac{1}{3}+1$ Вычислим значения:
   $\frac{2}{3}\le y\le \frac{4}{3}$

3. Итоговые значения

• Наименьшее значение ( $y_{min}$): достигается, когда $\cos \left(2x\right)=-1$.
  $y_{min}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ Наибольшее значение ( $y_{max}$): достигается, когда $\cos \left(2x\right)=1$.
  $y_{max}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$

Ответ: Наибольшее значение функции равно $4/3$ (или $1\frac{1}{3}$ ), наименьшее значение функции равно $2/3$. Хотите, чтобы я нашел точки $x$, в которых достигаются эти значения?