Найти f' (256) , если f(x) = х в степени 5/4

Для нахождения значения производной функции $f\left(x\right)=x^{5/4}$ в точке $x=256$, воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции. 1. Нахождение общей формулы производной Используем формулу $\frac{d}{dx}{x}^n=n\cdot x^{n-1}$ . В данном случае $n=\frac{5}{4}$ . $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{5}{4}\cdot x^{\frac{5}{4}-1}$ $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{5}{4}\cdot x^{1/4}$ Так как возведение в степень $1/4$ эквивалентно извлечению корня четвертой степени, формулу можно записать как: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{5}{4}\sqrt[4]{x}$ 2. Вычисление значения в точке $x=256$ Подставим число $256$ в полученное выражение: $f^{\prime }\left(256\right)=\frac{5}{4}\cdot {256}^{1/4}$ Разложим число $256$ на множители, чтобы извлечь корень:

• $256=2^8$ $256=4^4$

Следовательно: $\sqrt[4]{256}=4$ 3. Финальный расчет $f^{\prime }\left(256\right)=\frac{5}{4}\cdot 4$ $f^{\prime }\left(256\right)=5$Ответ: $f^{\prime }\left(256\right)=5$. Я могу также помочь вам найти производную для более сложных функций или составить таблицу значений для этой функции. Хотите, чтобы я рассчитал вторую производную $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ в этой же точке?