Сколько правильных дробей со знаменателем 729 сократимы на 3?

Количество правильных дробей со знаменателем 729, сократимых на 3, составляет 242. Шаг 1: Определение условий для правильной дроби Правильная дробь $\frac{k}{n}$ — это дробь, в которой числитель $k$ меньше знаменателя $n$, и оба являются натуральными числами ( $k\ge 1$). Для знаменателя $n=729$ числитель $k$ может принимать значения из диапазона: $1\le k\le 728$Общее количество таких числителей равно $729-1=728$. Шаг 2: Условие сократимости на 3 Дробь $\frac{k}{729}$ сократима на 3 тогда и только тогда, когда числитель $k$ кратен 3. Поскольку знаменатель $729=3^6$ сам является степенью тройки, любое число $k$, делящееся на 3, обеспечит наличие общего делителя. Нам необходимо найти количество целых чисел $k$ в интервале от 1 до 728, которые делятся на 3 без остатка. Шаг 3: Вычисление количества кратных чисел Наибольшее целое число в данном диапазоне, кратное 3, можно найти, разделив верхнюю границу на 3 и взяв целую часть: $k_{max}=\lfloor \frac{728}{3}\rfloor$ Выполним деление: $728=3\cdot 242+2$Следовательно, количество таких чисел $m$ равно: $m=242$Эти числа образуют арифметическую прогрессию: $3,6,9,\dots ,726$. Ответ: Количество правильных дробей со знаменателем 729, сократимых на 3, равно 242. Заинтересованы ли вы в нахождении количества несократимых дробей для данного знаменателя с помощью функции Эйлера?