Вычислите приближенно: а) 5,01^2 б)7,98^2 в)2,99^3 г)корень из 24,1 д)корень из 35,98 е)ln 3 ж)1,01^20 з)0,98^20 и)2,01^10 к)1.99^10

Для вычисления значений используется формула линейного приближения через дифференциал функции: $f(x_0+\Delta x)\approx f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\Delta x$. Приблизительные значения: а) 25,1, б) 63,68, в) 26,73, г) 4,91, д) 5,9983, е) 1,1036, ж) 1,2, з) 0,6, и) 1075,2, к) 972,8. ️ Шаг 1: Применение формулы для степенных функций и корней Для большинства примеров используется функция $f\left(x\right)=x^n$ или $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ . Линейная аппроксимация имеет вид: $(x_0+\Delta x{)}^n\approx x_0^n+n{x}_0^{n-1}\Delta x$. а) $5,{01}^2\approx 5^2+2\cdot 5\cdot 0,01=25+0,1=25,1$ б) $7,{98}^2=(8-0,02{)}^2\approx 8^2+2\cdot 8\cdot (-0,02)=64-0,32=63,68$ в) $2,{99}^3=(3-0,01{)}^3\approx 3^3+3\cdot 3^2\cdot (-0,01)=27-0,27=26,73$ г) $\sqrt{24,1}=\sqrt{25-0,9}\approx 5+\frac{1}{2\sqrt{25}}\cdot (-0,9)=5-0,09=4,91$ д) $\sqrt{35,98}=\sqrt{36-0,02}\approx 6+\frac{1}{2\sqrt{36}}\cdot (-0,02)=6-\frac{0,01}{6}\approx 5,9983$ ️ Шаг 2: Вычисление логарифма и высоких степеней Для $\ln 3$ выберем точку $x_0=e\approx 2,7182$. Тогда $\Delta x=3-e\approx 0,2818$. е) $\ln 3\approx \ln e+\frac{1}{e}(3-e)=1+\frac{0,2818}{2,7182}\approx 1,1036$ Для степеней $(1+\alpha {)}^n\approx 1+n\alpha$: ж) $1,{01}^{20}\approx 1+20\cdot 0,01=1,2$ з) $0,{98}^{20}=(1-0,02{)}^{20}\approx 1-20\cdot 0,02=0,6$ Для $2,{01}^{10}$ и $1,{99}^{10}$ используем $x_0=2,\Delta x=\pm 0,01$ и производную $f^{\prime }\left(x\right)=10x^9$: и) $2,{01}^{10}\approx 2^{10}+10\cdot 2^9\cdot 0,01=1024+51,2=1075,2$ к) $1,{99}^{10}\approx 2^{10}-10\cdot 2^9\cdot 0,01=1024-51,2=972,8$ Ответ: а) 25,1 б) 63,68 в) 26,73 г) 4,91 д) 5,9983 е) 1,1036 ж) 1,2 з) 0,6 и) 1075,2 к) 972,8 Нужно ли вам вычисление погрешности для этих приближений или использование ряда Тейлора для большей точности?