Вывод формулы первой космической скорости.космические скорости. вывод формулы радиуса орбиты геостационарного спутника.

Основные космические скорости определяют возможность преодоления гравитационного притяжения небесного тела. В основе их вывода лежит закон всемирного тяготения Ньютона и законы классической механики. 1. Первая космическая скорость ( $v_1$) Определение: Это минимальная горизонтальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником планеты, двигаясь по круговой орбите у ее поверхности. Вывод формулы Для движения тела по окружности необходимо наличие центростремительного ускорения, роль которого в данном случае играет ускорение свободного падения, вызванное силой тяжести.

1. Согласно второму закону Ньютона:
   $F=ma$ Для круговой орбиты ускорение является центростремительным:
   $a_c=\frac{v^2}{R}$ Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:
   $G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v_1^2}{R}$

Где:

• $G$ — гравитационная постоянная; $M$ — масса планеты; $m$ — масса спутника; $R$ — радиус планеты (в предположении, что высота полета пренебрежимо мала).

1. Сокращаем массу $m$ и один радиус $R$, выражаем $v_1$:
   $v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}$ Учитывая, что ускорение свободного падения на поверхности $g=\frac{GM}{R^2}$ , формулу можно переписать как:
   $v_1=\sqrt{gR}$

Для Земли значение $v_1\approx 7,9$ км/с. 2. Краткий обзор космических скоростей

• Вторая космическая скорость ( $v_2$): Минимальная скорость для преодоления гравитационного притяжения планеты и ухода на бесконечность (параболическая траектория).
  $v_2=v_1\sqrt{2}\approx 11,2\text{км/с (для Земли)}$ Третья космическая скорость ( $v_3$): Минимальная скорость для выхода за пределы Солнечной системы. Для Земли она составляет примерно $16,7$ км/с. Четвертая космическая скорость ( $v_4$): Скорость, необходимая для покидания галактики Млечный Путь. В районе Солнца составляет около $550$ км/с.

3. Радиус орбиты геостационарного спутника Определение: Геостационарная орбита (ГСО) — это круговая орбита, расположенная над экватором Земли, на которой спутник вращается с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения Земли вокруг своей оси. Благодаря этому спутник остается неподвижным относительно земного наблюдателя. Вывод формулы Для нахождения радиуса орбиты $r$ необходимо приравнять силу тяготения к центростремительной силе, учитывая период обращения Земли $T$.

1. Условие равновесия на орбите:
   $G\frac{Mm}{r^2}=m{\omega }^{2}r$ Связь угловой скорости $\omega$ с периодом $T$:
   $\omega =\frac{2\pi }{T}$ Подставляем $\omega$ в уравнение:
   $G\frac{M}{r^2}={\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^{2}r$ Выражаем $r^3$:
   $r^3=\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}$ Извлекаем кубический корень:
   $r=\sqrt[3]{\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}$

Параметры для расчета (Земля):

• $G\approx 6,674\times {10}^{-11}{\text{м}}^3/(\text{кг}\cdot {\text{с}}^2)$ $M\approx 5,97\times {10}^{24}\text{кг}$ $T\approx 86164\text{с}$ (сидерические сутки)

Подстановка данных дает радиус $r\approx 42164$ км. Если вычесть радиус Земли ( $R\approx 6371$ км), высота над уровнем моря составит примерно 35 786 км. Могу ли я рассчитать для вас параметры орбиты для другого небесного тела или составить таблицу сравнительных характеристик планет Солнечной системы?