Y=ln(x+4)^2+2x+7 найти точку максимума.

Для нахождения точки максимума функции $y=\ln (x+4{)}^2+2x+7$ необходимо исследовать её с помощью производной. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Функция содержит натуральный логарифм. Аргумент логарифма в квадрате $(x+4{)}^2$ всегда неотрицателен. Однако выражение под логарифмом не может быть равно нулю: $(x+4{)}^2\ne 0⟹x\ne -4$Область определения: $x\in (-\infty ;-4)\cup (-4;+\infty )$. 2. Нахождение производной функции Используем свойство логарифма $\ln \left(a^k\right)=k\ln \left|a\right|$, чтобы упростить выражение перед дифференцированием: $y=2\ln |x+4|+2x+7$Теперь находим производную $y^{\prime }$ по правилам дифференцирования: $y^{\prime }={\left(2\ln \right|x+4\left|\right)}^{\prime }+(2x{)}^{\prime }+(7{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=\frac{2}{x+4}+2$ 3. Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю для поиска точек экстремума: $\frac{2}{x+4}+2=0$ $\frac{2}{x+4}=-2$ $x+4=-1$ $x=-5$Критическая точка $x=-5$ входит в ОДЗ. 4. Определение характера точки экстремума Проверим знак производной $y^{\prime }=\frac{2}{x+4}+2$ на интервалах вокруг точки $-5$ (учитывая разрыв в точке $-4$):

• Интервал $(-\infty ;-5)$: Возьмем $x=-6$.
  $y^{\prime }\left(-6\right)=\frac{2}{-6+4}+2=-1+2=1>0$ . Производная положительна, функция возрастает. Интервал $(-5;-4)$: Возьмем $x=-4.5$.
  $y^{\prime }\left(-4.5\right)=\frac{2}{-4.5+4}+2=\frac{2}{-0.5}+2=-4+2=-2<0$ . Производная отрицательна, функция убывает.

Заключение Так как в точке $x=-5$ производная меняет знак с плюса на минус, эта точка является точкой максимума. Ответ: $-5$ Я могу также вычислить значение функции в этой точке или построить подробную таблицу изменения функции, если это необходимо.