Y=x2-a=x2-11 / x2-b x2-6 исследовать функцию и построить график

Для исследования функции $y=\frac{x^2-11}{x^2-6}$ воспользуемся стандартным алгоритмом полного исследования. 1. Область определения функции ( $D\left(y\right)$) Функция не определена в точках, где знаменатель равен нулю: $x^2-6=0⟹x^2=6⟹x=\pm \sqrt{6}\approx \pm 2.45$ $D\left(y\right)=(-\infty ;-\sqrt{6})\cup (-\sqrt{6};\sqrt{6})\cup (\sqrt{6};+\infty )$ 2. Четность и периодичность Проверим условие $f(-x)=f\left(x\right)$: $f(-x)=\frac{(-x{)}^2-11}{(-x{)}^2-6}=\frac{x^2-11}{x^2-6}=f\left(x\right)$ Функция является четной. График симметричен относительно оси $Oy$. Функция непериодична. 3. Точки пересечения с осями координат

• С осью $Ox$ ( $y=0$):
  $x^2-11=0⟹x=\pm \sqrt{11}\approx \pm 3.32$
  Точки: $(\sqrt{11};0)$ и $(-\sqrt{11};0)$ . С осью $Oy$ ( $x=0$):
  $y=\frac{0-11}{0-6}=\frac{11}{6}\approx 1.83$
  Точка: $(0;1.83)$.

4. Асимптоты

• Вертикальные асимптоты: прямые $x=\sqrt{6}$ и $x=-\sqrt{6}$ , так как в этих точках знаменатель равен нулю, а числитель отличен от нуля.
• Горизонтальная асимптота:
  $\underset{x\pm \infty }{\lim }\frac{x^2-11}{x^2-6}=\underset{x\pm \infty }{\lim }\frac{1-\frac{11}{x^2}}{1-\frac{6}{x^2}}=1$ Прямая $y=1$ — горизонтальная асимптота. Наклонных асимптот нет.

5. Исследование функции с помощью первой производной Найдем производную $y^{\prime }$: $y^{\prime }=\frac{(x^2-11{)}^{\prime }(x^2-6)-(x^2-11\left)\right(x^2-6{)}^{\prime }}{(x^2-6{)}^2}$ $y^{\prime }=\frac{2x(x^2-6)-2x(x^2-11)}{(x^2-6{)}^2}=\frac{2x^3-12x-2x^3+22x}{(x^2-6{)}^2}=\frac{10x}{(x^2-6{)}^2}$

• Критическая точка: $10x=0⟹x=0$. Интервалы монотонности:
  • На $(-\infty ;-\sqrt{6})$ и $(-\sqrt{6};0)$ : $y^{\prime }<0$ — функция убывает. На $(0;\sqrt{6})$ и $(\sqrt{6};+\infty )$ : $y^{\prime }>0$ — функция возрастает.
  Экстремумы: В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+». Это точка минимума.
  $y_{min}=y\left(0\right)=\frac{11}{6}\approx 1.83$ .

6. Исследование с помощью второй производной Найдем $y^{\prime \prime }$: $y^{\prime \prime }=\frac{10(x^2-6{)}^2-10x\cdot 2(x^2-6)\cdot 2x}{(x^2-6{)}^4}=\frac{10(x^2-6)-40x^2}{(x^2-6{)}^3}=\frac{-30x^2-60}{(x^2-6{)}^3}=\frac{-30(x^2+2)}{(x^2-6{)}^3}$

• $y^{\prime \prime }\ne 0$ для всех $x$ (нет точек перегиба). Выпуклость:
  • На $(-\sqrt{6};\sqrt{6})$ : $y^{\prime \prime }>0$ — график направлен выпуклостью вниз (вогнутый). На $(-\infty ;-\sqrt{6})$ и $(\sqrt{6};+\infty )$ : $y^{\prime \prime }<0$ — график направлен выпуклостью вверх.

Сводная таблица для построения графика

Описание графика

1. Центральная часть: Ветвь в форме "чаши" между вертикальными асимптотами $x=\pm 2.45$, минимум в точке $(0;1.83)$. Боковые части: Две ветви, выходящие из $-\infty$ у асимптот, пересекающие ось $Ox$ в точках $\pm 3.32$ и стремящиеся к горизонтальной асимптоте $y=1$ при $x\pm \infty$.

Могу ли я помочь вам с расчетом производных для другой функции или подготовить таблицу значений для более точного чертежа?