Log4(5+6x)=log4(3+4x)+1

Для решения уравнения ${\log }_4(5+6x)={\log }_4(3+4x)+1$ воспользуемся свойствами логарифмов и определением логарифмической функции. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $5+6x>0⟹6x>-5⟹x>-\frac{5}{6}$ $3+4x>0⟹4x>-3⟹x>-\frac{3}{4}$

Так как $-\frac{3}{4}>-\frac{5}{6}$ , общее условие: $x>-0.75$. 2. Преобразование уравнения Представим число $1$ в виде логарифма по основанию $4$: $1={\log }_4\left(4\right)$Теперь подставим это в исходное уравнение: ${\log }_4(5+6x)={\log }_4(3+4x)+{\log }_4\left(4\right)$Используем свойство суммы логарифмов ${\log }_a\left(b\right)+{\log }_a\left(c\right)={\log }_a(b\cdot c)$: ${\log }_4(5+6x)={\log }_4\left(\right(3+4x)\cdot 4)$3. Решение линейного уравнения Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $5+6x=4(3+4x)$Раскроем скобки в правой части: $5+6x=12+16x$Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числа — в другую: $6x-16x=12-5$ $-10x=7$Разделим обе части на $-10$: $x=-0.7$4. Проверка по ОДЗ Ранее мы установили, что $x$ должен быть больше $-0.75$. Сравним полученный результат: $-0.7>-0.75$Условие выполняется, корень является допустимым. Ответ: $x=-0.7$ Я могу составить для вас аналогичные задачи для закрепления темы или помочь с разбором более сложных логарифмических неравенств. Желаете продолжить?