1. (3х-1)^2-5|12х^2+17х-7|+4(4х+7)^2=0 2. |3х^2-27|=|3х-9|

Ниже представлено подробное решение обоих уравнений. 1. Уравнение с модулем и полными квадратами $(3x-1{)}^2-5|12x^2+17x-7|+4(4x+7{)}^2=0$Анализ выражения под модулем: Заметим, что выражение $12x^2+17x-7$ можно разложить на множители. Найдем корни уравнения $12x^2+17x-7=0$: $D={17}^2-4\cdot 12\cdot \left(-7\right)=289+336=625={25}^2$ $x_1=\frac{-17+25}{24}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3};x_2=\frac{-17-25}{24}=-\frac{42}{24}=-1.75=-\frac{7}{4}$ Следовательно, $12x^2+17x-7=12(x-\frac{1}{3})(x+\frac{7}{4})=3(x-\frac{1}{3})\cdot 4(x+\frac{7}{4})=(3x-1)(4x+7)$ . Преобразование уравнения: Подставим разложение в исходное уравнение: $(3x-1{)}^2-5|(3x-1)(4x+7)|+4(4x+7{)}^2=0$Так как $a^2=|a{|}^2$, перепишем уравнение: $|3x-1{|}^2-5|3x-1|\cdot |4x+7|+4|4x+7{|}^2=0$Решение методом однородного уравнения: Разделим обе части на $|4x+7{|}^2$ (при условии $4x+7\ne 0$, т.е. $x\ne -1.75$. Проверка показывает, что $x=-1.75$ не является корнем, так как тогда $|3x-1{|}^2=0$, что невозможно). Пусть $t=\frac{|3x-1|}{|4x+7|}$ , где $t\ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $t^2-5t+4=0$По теореме Виета корни: $t_1=1,t_2=4$. Обратная замена:

1. $\frac{|3x-1|}{|4x+7|}=1|3x-1|=|4x+7|$
   • $3x-1=4x+7x=-8$ $3x-1=-(4x+7)3x-1=-4x-77x=-6x=-\frac{6}{7}$
   $\frac{|3x-1|}{|4x+7|}=4|3x-1|=4|4x+7|$
   • $3x-1=16x+28-13x=29x=-\frac{29}{13}$ $3x-1=-(16x+28)3x-1=-16x-2819x=-27x=-\frac{27}{19}$

Ответ: $-8;-\frac{6}{7};-\frac{29}{13};-\frac{27}{19}$ . 2. Уравнение с двумя модулями $|3x^2-27|=|3x-9|$Упрощение: Вынесем общие множители за знаки модуля: $\left|3\right(x^2-9\left)\right|=\left|3\right(x-3\left)\right|$ $3|x^2-9|=3|x-3|$ $|x^2-9|=|x-3|$Разложение разности квадратов: $\left|\right(x-3\left)\right(x+3\left)\right|=|x-3|$ $|x-3|\cdot |x+3|=|x-3|$Решение: Перенесем всё в одну сторону и вынесем общий множитель: $|x-3|\cdot |x+3|-|x-3|=0$ $|x-3|\cdot \left(\right|x+3|-1)=0$Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $|x-3|=0x-3=0\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{3}$ $|x+3|-1=0|x+3|=1$
   • $x+3=1\mathbf{x}\mathbf{=}-2$ $x+3=-1\mathbf{x}\mathbf{=}-4$

Ответ: $3;-2;-4$.