Как разложить на сумму простых дробей х\х^3-1

Для разложения дроби $\frac{x}{x^3-1}$ на сумму простейших дробей необходимо выполнить следующие шаги: разложить знаменатель на множители, составить уравнение с неопределенными коэффициентами и вычислить их значения. 1. Разложение знаменателя на множители Используем формулу разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. В нашем случае: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$Квадратный трехчлен $x^2+x+1$ имеет отрицательный дискриминант ( $D=1^2-4=-3$), поэтому он не раскладывается на линейные множители в области действительных чисел. 2. Вид разложения Согласно правилам разложения рациональных дробей, каждому линейному множителю соответствует дробь вида $\frac{A}{x-a}$ , а каждому квадратичному — дробь вида $\frac{Bx+C}{x^2+px+q}$ . $\frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}$ 3. Нахождение коэффициентов Приведем правую часть к общему знаменателю: $x=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)$Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при степенях $x$: $x=A{x}^2+Ax+A+B{x}^2-Bx+Cx-C$ $x=(A+B)x^2+(A-B+C)x+(A-C)$Теперь составим систему линейных уравнений, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях $x$ в левой и правой частях:

1. Для $x^2$: $A+B=0$ Для $x^1$: $A-B+C=1$ Для $x^0$: $A-C=0$

Решение системы:

• Из (3) следует: $C=A$ Из (1) следует: $B=-A$ Подставим эти значения во второе уравнение:
  $A-(-A)+A=1$ $3A=1⟹A=\frac{1}{3}$ Следовательно: $C=\frac{1}{3}$ и $B=-\frac{1}{3}$

4. Итоговый результат Подставляем найденные коэффициенты в исходную формулу: $\frac{x}{x^3-1}=\frac{1/3}{x-1}+\frac{-1/3x+1/3}{x^2+x+1}$ Для более удобного вида можно вынести общий множитель: $\frac{x}{x^3-1}=\frac{1}{3(x-1)}-\frac{x-1}{3(x^2+x+1)}$ Я могу помочь вам с вычислением интеграла от полученного выражения или разобрать разложение другой дроби. Хотите продолжить?