1) log_5x=4 2)log корень из 2, 15

Для решения данных логарифмических выражений воспользуемся определением логарифма: если ${\log }_{a}b=c$, то $a^c=b$. 1) Решение уравнения ${\log }_{5}x=4$ Чтобы найти значение $x$, необходимо возвести основание логарифма в степень, равную значению логарифма.

• Основание: $5$ Показатель степени: $4$ Уравнение: $x=5^4$

Вычисление: $5^1=5$ $5^2=25$ $5^3=125$ $5^4=625$ Ответ: $x=625$. 2) Вычисление значения ${\log }_{\sqrt{2}}16$ (В тексте указано «15», но в контексте логарифма по основанию $\sqrt{2}$ обычно подразумевается степень двойки, например «16». Ниже приведен расчет для значения 16, так как оно дает целое число, и для 15 через замену основания). Вариант А: Если логарифм ${\log }_{\sqrt{2}}16$ Используем свойства логарифма: ${\log }_{a^k}{b}^m=\frac{m}{k}{\log }_{a}b$ .

1. Представим основание и число как степени двойки:
   • $\sqrt{2}=2^{1/2}$ $16=2^4$
2. Подставим в формулу:
   ${\log }_{2^{1/2}}{2}^4=\frac{4}{1/2}\cdot {\log }_{2}2$ Вычислим коэффициент:
   $4:\frac{1}{2}=4\cdot 2=8$ Так как ${\log }_{2}2=1$, получаем:
   Результат: $8$

Вариант Б: Если логарифм именно ${\log }_{\sqrt{2}}15$ Если число равно 15, то точное целое значение вычислить нельзя. Используем формулу перехода к десятичному или натуральному логарифму:

1. ${\log }_{\sqrt{2}}15=\frac{\ln 15}{\ln \sqrt{2}}$ Учитывая, что $\ln \sqrt{2}=\frac{1}{2}\ln 2$ , выражение примет вид:
   $\frac{\ln 15}{\frac{1}{2}\ln 2}=\frac{2\ln 15}{\ln 2}$ Приблизительное значение:
   $2\cdot \frac{2.708}{0.693}\approx 7.81$

Следующим шагом я могу составить для вас таблицу основных свойств логарифмов или разобрать решение систем логарифмических уравнений.