Log3(1-2x)-log(1/x-2) log3(4x^2+6x-1)

Для решения данного выражения, которое, судя по структуре, представляет собой левую часть уравнения или неравенства ${\log }_3(1-2x)-{\log }_{1/x-2}(4x^2+6x-1)$, необходимо прежде всего определить область допустимых значений (ОДЗ). 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Логарифм определен только для положительного аргумента, а основание логарифма должно быть положительным и не равным единице. Для первого логарифма ${\log }_3(1-2x)$:

• $1-2x>0⟹2x<1⟹\mathbf{x}\mathbf{<}0.5$

Для второго логарифма ${\log }_{1/x-2}(4x^2+6x-1)$:

• Аргумент: $4x^2+6x-1>0$
  Находим корни уравнения $4x^2+6x-1=0$:
  $D=6^2-4\cdot 4\cdot \left(-1\right)=36+16=52$
  $x=\frac{-6\pm \sqrt{52}}{8}=\frac{-6\pm 2\sqrt{13}}{8}=\frac{-3\pm \sqrt{13}}{4}$
  Приблизительные значения: $x_1\approx -1.65$, $x_2\approx 0.15$.
  Следовательно: $\mathbf{x}\mathbf{<}\frac{-3\mathbf{-}\sqrt{13}}{\mathbf{4}}$ или $\mathbf{x}\mathbf{>}\frac{-3\mathbf{+}\sqrt{13}}{\mathbf{4}}$ . Основание: $1/x-2>0$ и $1/x-2\ne 1$
  1. $\frac{1-2x}{x}>0$ . Методом интервалов получаем: $\mathbf{0}\mathbf{<}\mathbf{x}\mathbf{<}0.5$. $1/x\ne 3⟹\mathbf{x}\mathbf{\ne }\mathbf{1}\mathbf{/}\mathbf{3}$.

Пересечение условий ОДЗ: Объединяя все условия ( $x<0.5$, $x>0.15$, $0<x<0.5$, $x\ne 1/3$), получаем итоговый интервал: $x\in (\frac{-3+\sqrt{13}}{4};\frac{1}{3})\cup (\frac{1}{3};\frac{1}{2})$ 2. Преобразование выражения Выражение имеет вид: $f\left(x\right)={\log }_3(1-2x)-\frac{\ln (4x^2+6x-1)}{\ln \left(\frac{1-2x}{x}\right)}$ Используя формулу перехода к новому основанию ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$ , приведем второй логарифм к основанию $3$: ${\log }_{1/x-2}(4x^2+6x-1)=\frac{{\log }_3(4x^2+6x-1)}{{\log }_3\left(\frac{1-2x}{x}\right)}$ Заметим, что основание второго логарифма можно расписать как: ${\log }_3\left(\frac{1-2x}{x}\right)={\log }_3(1-2x)-{\log }_3\left(x\right)$ 3. Итоговый вид выражения Полное выражение записывается так: ${\log }_3(1-2x)-\frac{{\log }_3(4x^2+6x-1)}{{\log }_3(1-2x)-{\log }_3\left(x\right)}$ Дальнейшее упрощение без приравнивания к чему-либо (например, к нулю) невозможно, так как аргументы логарифмов не являются степенями друг друга и не образуют очевидных алгебраических комбинаций. Если это часть уравнения вида $f\left(x\right)=0$, то решение будет строиться на потенцировании после приведения к общему знаменателю: ${\log }_3(1-2x)\cdot \left({\log }_3\right(1-2x)-{\log }_3(x\left)\right)={\log }_3(4x^2+6x-1)$Я могу помочь решить это выражение как уравнение или неравенство, если вы укажете вторую часть равенства или знак сравнения.