Найдите производную функции f(x)=корень sinx

Для нахождения производной функции $f\left(x\right)=\sqrt{\sin x}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Формулы, используемые при расчете Для решения нам понадобятся следующие базовые правила:

1. Производная степенной функции (кореня): $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u^{\prime }$ Производная синуса: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ Правило сложной функции: $\left(f\right(g\left(x\right)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g\left(x\right))\cdot g^{\prime }(x)$

Пошаговое решение

1. Представим функцию в виде внешней и внутренней составляющих:
   Внешняя функция — это корень $u^{1/2}$, а внутренняя функция — это $u=\sin x$. Применим правило дифференцирования:
   Сначала берем производную от внешнего «слоя» (корня), оставляя аргумент неизменным, и умножаем на производную подкоренного выражения:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot (\sin x{)}^{\prime }$ Вычислим производную внутренней функции:
   Так как $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, подставляем это значение в уравнение:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot \cos x$ Запишем итоговый результат:
   Объединим множители в одну дробь для упрощения вида:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

Ответ Производная функции $f\left(x\right)=\sqrt{\sin x}$ равна: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$ Область определения производной: Функция дифференцируема в тех точках, где $\sin x>0$ (так как корень стоит в знаменателе и под ним не может быть отрицательного числа). Это соответствует интервалам $(2\pi n;\pi +2\pi n)$, где $n\in \mathbb{Z}$. Я могу также помочь вам найти производную для более сложных тригонометрических комбинаций или вычислить значение этой производной в конкретной точке.