Решить иррациональные уравнения. 1) x + корень из (2х+3) = 6 2) x-2 = корень кубический из (x^2-8)

Question

Решить иррациональные уравнения. 1) x + корень из (2х+3) = 6 2) x-2 = корень кубический из (x^2-8)

Dima_Agent 22.02.2026 09:29

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Ниже представлено подробное решение предложенных иррациональных уравнений. 1. Решение уравнения $x + \sqrt{2 x + 3} = 6 x plus the square root of 2 x plus 3 end-root equals 6$ Шаг 1: Изолируем корень и определим область допустимых значений (ОДЗ). Перенесем $x x$ в правую часть: $\sqrt{2 x + 3} = 6 - x the square root of 2 x plus 3 end-root equals 6 minus x$ Для существования решения должны выполняться условия:

Под коренное выражение неотрицательно: $2 x + 3 \geq 0 x \geq -1.5 2 x plus 3 is greater than or equal to 0 implies x is greater than or equal to negative 1.5$ . Правая часть уравнения неотрицательна (так как корень всегда $\geq 0 is greater than or equal to 0$ ): $6 - x \geq 0 x \leq 6 6 minus x is greater than or equal to 0 implies x is less than or equal to 6$ .

Шаг 2: Возведем обе части уравнения в квадрат. $(\sqrt{2 x + 3})^{2} = (6 - x)^{2} open paren the square root of 2 x plus 3 end-root close paren squared equals open paren 6 minus x close paren squared$ $2 x + 3 = 36 - 12 x + x^{2} 2 x plus 3 equals 36 minus 12 x plus x squared$ Шаг 3: Приведем уравнение к квадратному виду. Перенесем все члены в одну сторону: $x^{2} - 14 x + 33 = 0 x squared minus 14 x plus 33 equals 0$ Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом:

Сумма корней $x_{1} + x_{2} = 14 x sub 1 plus x sub 2 equals 14$ Произведение корней $x_{1} \cdot x_{2} = 33 x sub 1 center dot x sub 2 equals 33$

Числа, удовлетворяющие этим условиям: $x_{1} = 3 x sub 1 equals 3$ и $x_{2} = 11 x sub 2 equals 11$ . Шаг 5: Проверка по условиям.

Проверим $x = 11 x equals 11$ : Подставим в исходное уравнение или в условие $x \leq 6 x is less than or equal to 6$ . Видим, что $11 > 6 11 is greater than 6$ . Если подставить в исходное: $11 + \sqrt{25} = 11 + 5 = 16 \neq 6 11 plus the square root of 25 end-root equals 11 plus 5 equals 16 is not equal to 6$ . Корень посторонний. Проверим $x = 3 x equals 3$ : Подставим в условие $x \leq 6 x is less than or equal to 6$ (верно). В исходное: $3 + \sqrt{2 \cdot 3 + 3} = 3 + \sqrt{9} = 3 + 3 = 6 3 plus the square root of 2 center dot 3 plus 3 end-root equals 3 plus the square root of 9 end-root equals 3 plus 3 equals 6$ . Подходит.

Ответ: $33$ . 2. Решение уравнения $x - 2 = \sqrt[3]{x^{2} - 8} x minus 2 equals the cube root of x squared minus 8 end-root$ Шаг 1: Возведем обе части уравнения в куб. При возведении в нечетную степень ОДЗ не накладывает ограничений на знак выражений, так как корень кубический определен для любых чисел. $(x - 2)^{3} = (\sqrt[3]{x^{2} - 8})^{3} open paren x minus 2 close paren cubed equals open paren the cube root of x squared minus 8 end-root close paren cubed$ Воспользуемся формулой куба разности $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} open paren a minus b close paren cubed equals a cubed minus 3 a squared b plus 3 a b squared minus b cubed$ : $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 = x^{2} - 8 x cubed minus 6 x squared plus 12 x minus 8 equals x squared minus 8$ Шаг 2: Упростим уравнение. Перенесем все слагаемые в левую часть: $x^{3} - 6 x^{2} - x^{2} + 12 x - 8 + 8 = 0 x cubed minus 6 x squared minus x squared plus 12 x minus 8 plus 8 equals 0$ $x^{3} - 7 x^{2} + 12 x = 0 x cubed minus 7 x squared plus 12 x equals 0$ Шаг 3: Разложим выражение на множители. Вынесем $x x$ за скобки: $x (x^{2} - 7 x + 12) = 0 x open paren x squared minus 7 x plus 12 close paren equals 0$ Отсюда либо $x = 0 x equals 0$ , либо $x^{2} - 7 x + 12 = 0 x squared minus 7 x plus 12 equals 0$ . Шаг 4: Решим квадратное уравнение $x^{2} - 7 x + 12 = 0 x squared minus 7 x plus 12 equals 0$ . По теореме Виета:

Сумма корней $x_{1} + x_{2} = 7 x sub 1 plus x sub 2 equals 7$ Произведение корней $x_{1} \cdot x_{2} = 12 x sub 1 center dot x sub 2 equals 12$

Корни: $x = 3 x equals 3$ и $x = 4 x equals 4$ . Шаг 5: Итоговые значения. Мы получили три потенциальных корня: $0, 3, 4 0 comma 3 comma 4$ . Поскольку возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием, все они являются решениями. Ответ: $0, 3, 4 0 comma 3 comma 4$ . Я могу составить для вас аналогичные задачи для закрепления темы или помочь с решением систем иррациональных уравнений. Хотите продолжить?

Решить иррациональные уравнения. 1) x + корень из (2х+3) = 6 2) x-2 = корень кубический из (x^2-8)

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов