1. найдите производную функции а)f(x)=x^3-10x^2+5x+1 б)f(x)=2/x^7+4 корня из 3 в)f(x)=(5x^2+2)* на корень из x

Производными данных функций являются: а) $f^{\prime }\left(x\right)=\mathbf{3}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}20\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5}$, б) $f^{\prime }\left(x\right)=\mathbf{-}\frac{14}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{8}}}$ , в) $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{25{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{x}}}$ . Шаг 1: Дифференцирование многочлена Для функции $f\left(x\right)=x^3-10x^2+5x+1$ применим правило дифференцирования суммы и степенной функции $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$ .

1. Производная $x^3$ равна $3x^2$. Производная $-10x^2$ равна $-10\cdot 2x=-20x$. Производная $5x$ равна $5$. Производная константы $1$ равна $0$.
   Складывая результаты, получаем:
   $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-20x+5$

Шаг 2: Дифференцирование функции с отрицательной степенью Функцию $f\left(x\right)=\frac{2}{x^7}+4\sqrt{3}$ перепишем в виде степенной функции: $f\left(x\right)=2x^{-7}+4\sqrt{3}$ .

1. Дифференцируем $2x^{-7}$: коэффициент $2$ умножаем на показатель $-7$ и уменьшаем степень на единицу: $2\cdot \left(-7\right)x^{-7-1}=-14x^{-8}$. Число $4\sqrt{3}$ является константой, поэтому его производная равна $0$.
   Преобразуем обратно в дробь:
   $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{14}{x^8}$

Шаг 3: Дифференцирование произведения функций Для $f\left(x\right)=(5x^2+2)\sqrt{x}$ удобнее сначала раскрыть скобки, представив $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$: $f\left(x\right)=5x^2\cdot x^{1/2}+2\cdot x^{1/2}=5x^{2.5}+2x^{0.5}$.

1. Производная $5x^{2.5}$ равна $5\cdot 2.5x^{1.5}=12.5x^{1.5}$. Производная $2x^{0.5}$ равна $2\cdot 0.5x^{-0.5}=x^{-0.5}$.
   Приведем к общему знаменателю:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{25x\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{25x^2+2}{2\sqrt{x}}$

Ответ: а) $f^{\prime }\left(x\right)=\mathbf{3}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}20\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5}$ б) $f^{\prime }\left(x\right)=\mathbf{-}\frac{14}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{8}}}$ в) $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{25{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{x}}}$ Нужно ли вам найти критические точки этих функций для дальнейшего исследования?