1) переведите из градусной меры в радианную и расположите в порядке возрастания: sin40, sin 80, sin 120, sin 160. 2) переведите из радианной меры в градусную и расположите в порядке убывания: cos 5pi/8, cos 7pi/12, cos 11pi/12, cos 47pi/9.

Часть 1: Перевод из градусной меры в радианную и упорядочивание Для перевода градусов в радианы используется формула: ${\alpha }_{rad}=\frac{{\alpha }^{\circ }\cdot \pi }{180}$ . 1. Перевод в радианы:

• $\sin {40}^{\circ }=\sin \left(\frac{40\pi }{180}\right)=\sin \frac{2\pi }{9}$ $\sin {80}^{\circ }=\sin \left(\frac{80\pi }{180}\right)=\sin \frac{4\pi }{9}$ $\sin {120}^{\circ }=\sin \left(\frac{120\pi }{180}\right)=\sin \frac{2\pi }{3}$ $\sin {160}^{\circ }=\sin \left(\frac{160\pi }{180}\right)=\sin \frac{8\pi }{9}$

2. Сравнение значений: Для сравнения приведем все значения к аргументам в первой четверти ( $0$ до ${90}^{\circ }$), используя формулы приведения ( $\sin ({180}^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$):

• $\sin {40}^{\circ }$ $\sin {80}^{\circ }$ $\sin {120}^{\circ }=\sin ({180}^{\circ }-{60}^{\circ })=\sin {60}^{\circ }$ $\sin {160}^{\circ }=\sin ({180}^{\circ }-{20}^{\circ })=\sin {20}^{\circ }$

Функция $\sin x$ возрастает на промежутке $[0^{\circ };{90}^{\circ }]$. Сравним аргументы: ${20}^{\circ }<{40}^{\circ }<{60}^{\circ }<{80}^{\circ }$. Следовательно: $\sin {20}^{\circ }<\sin {40}^{\circ }<\sin {60}^{\circ }<\sin {80}^{\circ }$. Порядок возрастания: $\sin {160}^{\circ },\sin {40}^{\circ },\sin {120}^{\circ },\sin {80}^{\circ }$ Часть 2: Перевод из радианной меры в градусную и упорядочивание Для перевода радиан в градусы необходимо заменить $\pi$ на ${180}^{\circ }$. 1. Перевод в градусы:

• $\cos \frac{5\pi }{8}=\cos \left(\frac{5\cdot {180}^{\circ }}{8}\right)=\cos {112.5}^{\circ }$ $\cos \frac{7\pi }{12}=\cos \left(\frac{7\cdot {180}^{\circ }}{12}\right)=\cos {105}^{\circ }$ $\cos \frac{11\pi }{12}=\cos \left(\frac{11\cdot {180}^{\circ }}{12}\right)=\cos {165}^{\circ }$ $\cos \frac{47\pi }{9}=\cos \left(\frac{47\cdot {180}^{\circ }}{9}\right)=\cos {940}^{\circ }$

Упростим $\cos {940}^{\circ }$, вычтя полные обороты ( ${360}^{\circ }\cdot 2={720}^{\circ }$): $\cos ({940}^{\circ }-{720}^{\circ })=\cos {220}^{\circ }$ 2. Сравнение значений: Функция $\cos x$ убывает на промежутке $[0^{\circ };{180}^{\circ }]$.

• $\cos {105}^{\circ }$ (II четверть, отрицательное, ближе к 0) $\cos {112.5}^{\circ }$ (II четверть, отрицательное) $\cos {165}^{\circ }$ (II четверть, отрицательное, близко к -1) $\cos {220}^{\circ }$ (III четверть). Используем формулу приведения: $\cos {220}^{\circ }=\cos ({180}^{\circ }+{40}^{\circ })=-\cos {40}^{\circ }$.

Сравним значения на числовой окружности или через численные приближения:

1. $\cos {105}^{\circ }\approx -0.26$ $\cos {112.5}^{\circ }\approx -0.38$ $\cos {220}^{\circ }\approx -0.77$ $\cos {165}^{\circ }\approx -0.97$

Порядок убывания: $\cos \frac{7\pi }{12},\cos \frac{5\pi }{8},\cos \frac{47\pi }{9},\cos \frac{11\pi }{12}$ Хотите, чтобы я составил таблицу значений тригонометрических функций для основных углов в радианах и градусах?