Найти значения выражения: √200cos²(9π/8)-√50

Для решения выражения $\sqrt{200}{\cos }^2\left(\frac{9\pi }{8}\right)-\sqrt{50}$ воспользуемся методами упрощения корней и тригонометрическими формулами понижения степени. 1. Упрощение радикалов Сначала приведем корни к более простому виду, вынеся полные квадраты из-под знака корня:

• $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}$ $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение: $10\sqrt{2}{\cos }^2\left(\frac{9\pi }{8}\right)-5\sqrt{2}$ 2. Вынесение общего множителя Вынесем за скобки общий множитель $5\sqrt{2}$ : $5\sqrt{2}(2{\cos }^2\left(\frac{9\pi }{8}\right)-1)$ 3. Применение тригонометрической формулы В скобках получилось выражение, соответствующее формуле двойного угла для косинуса: $\cos \left(2\alpha \right)=2{\cos }^2\left(\alpha \right)-1$В нашем случае $\alpha =\frac{9\pi }{8}$ , следовательно: $2{\cos }^2\left(\frac{9\pi }{8}\right)-1=\cos (2\cdot \frac{9\pi }{8})=\cos \left(\frac{9\pi }{4}\right)$ 4. Вычисление значения косинуса Упростим аргумент косинуса, выделив целое число периодов ( $2\pi$): $\frac{9\pi }{4}=2\pi +\frac{\pi }{4}$ Так как косинус имеет период $2\pi$: $\cos \left(\frac{9\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 5. Финальный расчет Подставим полученное значение обратно в упрощенное выражение: $5\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $5\cdot \frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}$ $5\cdot \frac{2}{2}=5$ Ответ: 5 Могу ли я помочь вам с решением других тригонометрических задач или упрощением выражений с корнями?