Cos в квадрате x + cos x sin x = 0

Для решения уравнения ${\cos }^{2}x+\cos x\sin x=0$ воспользуемся методом разложения на множители. 1. Вынесение общего множителя Заметим, что в обоих слагаемых присутствует $\cos x$. Вынесем его за скобки: $\cos x(\cos x+\sin x)=0$2. Расщепление уравнения Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $\cos x=0$ $\cos x+\sin x=0$

3. Решение первого уравнения $\cos x=0$Это частный случай на тригонометрической окружности. Точки, в которых косинус равен нулю (абсцисса равна 0), находятся сверху и снизу: $x_1=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ 4. Решение второго уравнения $\cos x+\sin x=0$Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на $\cos x$.

Важно: Мы можем делить на $\cos x$, так как если $\cos x=0$, то из уравнения следовало бы, что $\sin x=0$, что невозможно одновременно согласно основному тригонометрическому тождеству ( ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$).

$\frac{\cos x}{\cos x}+\frac{\sin x}{\cos x}=0$ $1+\tan x=0$ $\tan x=-1$Находим значения $x$ для тангенса: $x_2=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+\pi n;x=-\frac{\pi }{4}+\pi k;n,k\in \mathbb{Z}$ Я могу составить для вас аналогичные задачи для закрепления темы или помочь с отбором корней на конкретном промежутке.