1. в первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, а во второй – 1 черный и 5 белых шаров. из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.

Вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым, составляет $\frac{38}{105}$ . ️ Шаг 1: Определение состава третьей урны В первой урне $10$ шаров ( $1$ белый, $9$ черных), во второй — $6$ шаров ( $5$ белых, $1$ черный). После удаления по одному шару из каждой в третьей урне оказывается $14$ шаров. Общее количество белых шаров в системе изначально равно $1+5=6$. Количество белых шаров в третьей урне зависит от того, какие именно шары были удалены. ️ Шаг 2: Введение гипотез Пусть событие $A$ — из третьей урны вынут белый шар. Рассмотрим гипотезы о составе удаленных шаров:

• $H_1$: удалены два белых шара. $P\left(H_1\right)=\frac{1}{10}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{60}$ $H_2$: удален белый из первой и черный из второй. $P\left(H_2\right)=\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{60}$ $H_3$: удален черный из первой и белый из второй. $P\left(H_3\right)=\frac{9}{10}\cdot \frac{5}{6}=\frac{45}{60}$ $H_4$: удалены два черных шара. $P\left(H_4\right)=\frac{9}{10}\cdot \frac{1}{6}=\frac{9}{60}$

️ Шаг 3: Условные вероятности события $A$ Найдем вероятность вынуть белый шар из $14$ оставшихся при каждой гипотезе:

• $P\left(A\right|H_1)=\frac{6-2}{14}=\frac{4}{14}$ $P\left(A\right|H_2)=\frac{6-1}{14}=\frac{5}{14}$ $P\left(A\right|H_3)=\frac{6-1}{14}=\frac{5}{14}$ $P\left(A\right|H_4)=\frac{6-0}{14}=\frac{6}{14}$

️ Шаг 4: Вычисление полной вероятности Используем формулу полной вероятности $P\left(A\right)=\sum _{i=1}^{4}P\left(H_i\right)P\left(A\right|H_i)$: $P\left(A\right)=\frac{5}{60}\cdot \frac{4}{14}+\frac{1}{60}\cdot \frac{5}{14}+\frac{45}{60}\cdot \frac{5}{14}+\frac{9}{60}\cdot \frac{6}{14}$ $P\left(A\right)=\frac{20+5+225+54}{840}=\frac{304}{840}$ Сократим дробь на $8$: $\frac{304}{840}=\frac{38}{105}$ Ответ: Вероятность того, что вынутый шар окажется белым, равна $\frac{38}{105}$ (приблизительно $0,362$). Нужно ли рассчитать вероятность для случая, если бы шары извлекались с возвращением?