Помогите решить |2x+8|-|x-5|=12

Для решения уравнения с модулями $|2x+8|-|x-5|=12$ мы воспользуемся методом интервалов. Нам нужно определить значения $x$, при которых выражения под знаком модуля меняют знак. 1. Нахождение критических точек Приравняем выражения внутри модулей к нулю:

• $2x+8=0⟹x=-4$ $x-5=0⟹x=5$

Эти точки делят числовую прямую на три интервала:

1. $(-\infty ;-4]$ $(-4;5]$ $(5;+\infty )$

2. Раскрытие модулей на интервалах Случай 1: $x\in (-\infty ;-4]$ На этом промежутке оба выражения под модулем отрицательны (или равны нулю).

• $|2x+8|=-(2x+8)=-2x-8$ $|x-5|=-(x-5)=-x+5$

Подставляем в уравнение: $(-2x-8)-(-x+5)=12$ $-2x-8+x-5=12$ $-x-13=12$ $-x=25$ $x=-25$ Проверка: $-25$ входит в интервал $(-\infty ;-4]$. Корень подходит. Случай 2: $x\in (-4;5]$ На этом промежутке $2x+8$ положительно, а $x-5$ отрицательно.

• $|2x+8|=2x+8$ $|x-5|=-(x-5)=-x+5$

Подставляем в уравнение: $(2x+8)-(-x+5)=12$ $2x+8+x-5=12$ $3x+3=12$ $3x=9$ $x=3$ Проверка: $3$ входит в интервал $(-4;5]$. Корень подходит. Случай 3: $x\in (5;+\infty )$ На этом промежутке оба выражения под модулем положительны.

• $|2x+8|=2x+8$ $|x-5|=x-5$

Подставляем в уравнение: $(2x+8)-(x-5)=12$ $2x+8-x+5=12$ $x+13=12$ $x=-1$ Проверка: $-1$ не входит в интервал $(5;+\infty )$. Корень не подходит. Ответ: Уравнение имеет два корня: -25 и 3. Хотите, чтобы я проверил другое уравнение или разобрал аналогичную задачу с параметром?