1)log x по основанию 2<1/22)log x по основанию 0,1<или =-1/23)log x по основанию 5 -log 35 по основанию 5 < или =log 1/7 по основанию 5

Для решения данных логарифмических неравенств необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ) аргумента $x>0$ и основание логарифма: если основание больше 1, знак неравенства сохраняется, если от 0 до 1 — меняется на противоположный. ️ Шаг 1: Решение неравенства ${\log }_{2}x<1/2$

1. Определим ОДЗ: $x>0$. Так как основание логарифма $2>1$, функция возрастает, и знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам. Перепишем правую часть: $1/2={\log }_2{2}^{1/2}={\log }_2\sqrt{2}$ . Получаем: $x<\sqrt{2}$ . С учетом ОДЗ: $0<x<\sqrt{2}$ .

️ Шаг 2: Решение неравенства ${\log }_{0,1}x\le -1/2$

1. Определим ОДЗ: $x>0$. Так как основание логарифма $0,1$ находится в интервале $(0;1)$, функция убывает, и при снятии логарифма знак неравенства меняется на противоположный. Вычислим значение: $x\ge (0,1{)}^{-1/2}$. Преобразуем правую часть: $(0,1{)}^{-1/2}=(1/10{)}^{-1/2}={10}^{1/2}=\sqrt{10}$ . Таким образом, $x\ge \sqrt{10}$ . Данное условие полностью удовлетворяет ОДЗ.

️ Шаг 3: Решение неравенства ${\log }_{5}x-{\log }_{5}35\le {\log }_{5}1/7$

1. Определим ОДЗ: $x>0$. Используем свойство разности логарифмов ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c={\log }_a(b/c)$: ${\log }_5\frac{x}{35}\le {\log }_5\frac{1}{7}$ . Так как основание $5>1$, переходим к сравнению аргументов с сохранением знака: $\frac{x}{35}\le \frac{1}{7}$ . Умножим обе части на 35: $x\le \frac{35}{7}⟹x\le 5$ . С учетом ОДЗ: $0<x\le 5$.

Ответ:

1. x \in (0; \sqrt{2})
2. x \in [\sqrt{10}; +\infty)
3. x \in (0; 5]

Нужно ли вам графическое представление этих решений на числовой прямой или помощь с другими свойствами логарифмов?