1.найти промежутки монотонности для функции y=x^3+8.5x^2+10x

Функция возрастает на промежутках $(-\infty ,-5]$ и $[-\frac{2}{3},+\infty )$ , а убывает на промежутке $[-5,-\frac{2}{3}]$ . Шаг 1: Нахождение производной функции Для определения промежутков монотонности необходимо найти производную функции. Используя правила дифференцирования для каждого слагаемого, получаем: $y^{\prime }=(x^3{)}^{\prime }+(8.5x^2{)}^{\prime }+(10x{)}^{\prime }=3x^2+17x+10$ Шаг 2: Нахождение критических точек Критические точки определяются равенством производной нулю. Решим квадратное уравнение: $3x^2+17x+10=0$ Найдем дискриминант: $D={17}^2-4\cdot 3\cdot 10=289-120=169$ Вычислим корни уравнения: $x=\frac{-17\pm \sqrt{169}}{2\cdot 3}=\frac{-17\pm 13}{6}$ $x_1=\frac{-30}{6}=-5$ $x_2=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$ Шаг 3: Определение знаков производной на интервалах Производная $y^{\prime }=3x^2+17x+10$ является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями вверх. Определим знаки на полученных интервалах:

• На интервале $(-\infty ,-5]$ производная $y^{\prime }\ge 0$, функция возрастает. На интервале $[-5,-\frac{2}{3}]$ производная $y^{\prime }\le 0$, функция убывает. На интервале $[-\frac{2}{3},+\infty )$ производная $y^{\prime }\ge 0$, функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $x\in (-\infty ,-5]\cup [-\frac{2}{3},+\infty )$ и убывает на интервале $x\in [-5,-\frac{2}{3}]$ . Нужно ли вам также найти экстремумы (точки максимума и минимума) для этой функции?