Равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и углом при вершине 120 градусов вращается вокруг оси,содержащей боковую сторону.найдите объём фигуры вращения.

Question

Равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и углом при вершине 120 градусов вращается вокруг оси,содержащей боковую сторону.найдите объём фигуры вращения.

tolia81 10.03.2026 15:27

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Объем фигуры вращения составляет $250 π 250 pi$ см $^{3} cubed$ . 1. Анализ геометрии треугольника Пусть дан равнобедренный треугольник $A B C cap A cap B cap C$ , где $A B = A C = 10 cap A cap B equals cap A cap C equals 10$ см — боковые стороны, а $∠ B A C = 120^{\circ} angle cap B cap A cap C equals 120 raised to the composed with power$ . Вращение происходит вокруг оси, содержащей сторону $A B cap A cap B$ . Поскольку угол при вершине $A cap A$ тупой ( $120^{\circ} 120 raised to the composed with power$ ), высота $C H cap C cap H$ , опущенная из вершины $C cap C$ на прямую $A B cap A cap B$ , упадет на продолжение стороны $A B cap A cap B$ за точку $A cap A$ . Рассмотрим прямоугольный треугольник $A H C cap A cap H cap C$ :

Гипотенуза $A C = 10 cap A cap C equals 10$ см. $∠ H A C = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} angle cap H cap A cap C equals 180 raised to the composed with power minus 120 raised to the composed with power equals 60 raised to the composed with power$ (смежный угол). Радиус вращения $R = C H = A C \cdot \sin (60^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} cap R equals cap C cap H equals cap A cap C center dot sine open paren 60 raised to the composed with power close paren equals 10 center dot the fraction with numerator the square root of 3 end-root and denominator 2 end-fraction equals 5 the square root of 3 end-root$ см. Отрезок $A H = A C \cdot \cos (60^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 cap A cap H equals cap A cap C center dot cosine open paren 60 raised to the composed with power close paren equals 10 center dot one-half equals 5$ см.

2. Определение тела вращения Фигура, полученная при вращении треугольника $A B C cap A cap B cap C$ вокруг прямой $A B cap A cap B$ , представляет собой разность двух конусов с общим основанием (кругом радиуса $R = C H cap R equals cap C cap H$ ):

Большой конус образуется вращением треугольника $H B C cap H cap B cap C$ . Его высота $H_{1} = H B = H A + A B = 5 + 10 = 15 cap H sub 1 equals cap H cap B equals cap H cap A plus cap A cap B equals 5 plus 10 equals 15$ см. Малый конус образуется вращением треугольника $H A C cap H cap A cap C$ . Его высота $H_{2} = H A = 5 cap H sub 2 equals cap H cap A equals 5$ см.

Объем искомой фигуры $V cap V$ равен разности объемов этих конусов: $V = V_{H B C} - V_{H A C} cap V equals cap V sub cap H cap B cap C end-sub minus cap V sub cap H cap A cap C end-sub$ 3. Вычисление объема Используем формулу объема конуса $V = \frac{1}{3} π R^{2} h cap V equals one-third pi cap R squared h$ : $V = \frac{1}{3} π R^{2} \cdot H_{1} - \frac{1}{3} π R^{2} \cdot H_{2} = \frac{1}{3} π R^{2} (H_{1} - H_{2}) cap V equals one-third pi cap R squared center dot cap H sub 1 minus one-third pi cap R squared center dot cap H sub 2 equals one-third pi cap R squared open paren cap H sub 1 minus cap H sub 2 close paren$ Заметим, что $H_{1} - H_{2} = (H A + A B) - H A = A B = 10 cap H sub 1 minus cap H sub 2 equals open paren cap H cap A plus cap A cap B close paren minus cap H cap A equals cap A cap B equals 10$ см.

Равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и углом при вершине 120 градусов вращается вокруг оси,содержащей боковую сторону.найдите объём фигуры вращения.

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов