Найти интервалы монотонности функции f(x)=2x^3+3x^2-6

Функция возрастает на промежутках $(-\infty ,-1]$ и $[0,+\infty )$, а убывает на промежутке $[-1,0]$. ️ Шаг 1: Нахождение производной Для определения монотонности вычислим производную функции $f\left(x\right)=2x^3+3x^2-6$. Применяя правило дифференцирования степенной функции, получаем: $f^{\prime }\left(x\right)=6x^2+6x$️ Шаг 2: Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых функция может менять характер монотонности: $6x^2+6x=0$Вынесем общий множитель за скобки: $6x(x+1)=0$Критическими точками являются $x_1=0$ и $x_2=-1$. ️ Шаг 3: Определение знаков производной Разделим числовую прямую на интервалы критическими точками и определим знак $f^{\prime }\left(x\right)$ на каждом из них:

1. На интервале $(-\infty ,-1)$: выберем $x=-2$, $f^{\prime }\left(-2\right)=6(-2{)}^2+6(-2)=24-12=12>0$. Функция возрастает. На интервале $(-1,0)$: выберем $x=-0.5$, $f^{\prime }\left(-0.5\right)=6\left(0.25\right)-3=1.5-3=-1.5<0$. Функция убывает. На интервале $(0,+\infty )$: выберем $x=1$, $f^{\prime }\left(1\right)=6(1{)}^2+6(1)=12>0$. Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает при $x\in (-\infty ,-1]\cup [0,+\infty )$ и убывает при $x\in [-1,0]$. Требуется ли вам найти точки экстремума (максимумы и минимумы) для этой функции?