С помощью определения производной найти производную заданной функций (3-4).

Для нахождения производной функции по определению используется следующий предел: $f^{\prime }\left(x\right)=\underset{\Delta x0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f\left(x\right)}{\Delta x}$ Ниже приведен подробный вывод для двух типовых функций (линейной и квадратичной), которые обычно соответствуют номерам 3 и 4 в стандартных учебных заданиях. 3. Функция $f\left(x\right)=kx+b$ Найдем производную линейной функции.

1. Запишем приращение функции:
   $\Delta y=f(x+\Delta x)-f\left(x\right)$
   $\Delta y=\left(k\right(x+\Delta x)+b)-(kx+b)$ Раскроем скобки и упростим:
   $\Delta y=kx+k\Delta x+b-kx-b$
   $\Delta y=k\Delta x$ Составим отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ :
   $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k\Delta x}{\Delta x}=k$ Вычислим предел при $\Delta x0$:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\underset{\Delta x0}{\lim }k=k$

Ответ: $(kx+b{)}^{\prime }=k$ 4. Функция $f\left(x\right)=x^2$ Найдем производную квадратичной функции.

1. Запишем приращение функции:
   $\Delta y=f(x+\Delta x)-f\left(x\right)$
   $\Delta y=(x+\Delta x{)}^2-x^2$ Разложим по формуле квадрата суммы и упростим:
   $\Delta y=(x^2+2x\Delta x+(\Delta x{)}^2)-x^2$
   $\Delta y=2x\Delta x+(\Delta x{)}^2$ Составим отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ :
   $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2x\Delta x+(\Delta x{)}^2}{\Delta x}$
   Вынесем $\Delta x$ за скобки в числителе:
   $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x(2x+\Delta x)}{\Delta x}=2x+\Delta x$ Вычислим предел при $\Delta x0$:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\underset{\Delta x0}{\lim }(2x+\Delta x)$
   Так как $\Delta x$ стремится к нулю, остается только $2x$.

Ответ: $(x^2{)}^{\prime }=2x$ Если в вашем задании под номерами 3 и 4 подразумеваются другие конкретные функции (например, $1/x$ или $\sqrt{x}$ ), я могу разобрать их аналогичным способом.