3*16^x+2*81^x=5*36^x

Для решения уравнения $3\cdot {16}^x+2\cdot {81}^x=5\cdot {36}^x$ воспользуемся методом приведения к однородному уравнению второго порядка. 1. Преобразование оснований Заметим, что все основания являются степенями чисел 2 и 3:

• ${16}^x=(2^4{)}^x=(2^{2x}{)}^2$ (или $(4^x{)}^2$) ${81}^x=(3^4{)}^x=(3^{2x}{)}^2$ (или $(9^x{)}^2$) ${36}^x=(6^2{)}^x=(4\cdot 9{)}^x=4^x\cdot 9^x$

Перепишем исходное уравнение: $3\cdot (4^x{)}^2-5\cdot (4^x\cdot 9^x)+2\cdot (9^x{)}^2=0$2. Деление на $(9^x{)}^2$ Так как $9^x\ne 0$ при любых значениях $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $(9^x{)}^2$: $\frac{3\cdot (4^x{)}^2}{(9^x{)}^2}-\frac{5\cdot 4^x\cdot 9^x}{(9^x{)}^2}+\frac{2\cdot (9^x{)}^2}{(9^x{)}^2}=0$ После сокращения получаем: $3\cdot {\left(\frac{4}{9}\right)}^{2x}-5\cdot {\left(\frac{4}{9}\right)}^x+2=0$ 3. Введение новой переменной Пусть $t={\left(\frac{4}{9}\right)}^x$ , где $t>0$. Тогда уравнение принимает вид квадратного: $3t^2-5t+2=0$4. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант: $D=(-5{)}^2-4\cdot 3\cdot 2=25-24=1$Корни уравнения: $t_1=\frac{5+1}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$ $t_2=\frac{5-1}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ 5. Обратная подстановка Вернемся к переменной $x$: Случай 1: ${\left(\frac{4}{9}\right)}^x=1$ Любое число в нулевой степени равно 1, следовательно: $x_1=0$ Случай 2: ${\left(\frac{4}{9}\right)}^x=\frac{2}{3}$ Заметим, что $\frac{4}{9}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ . Перепишем уравнение: ${\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right)}^x=\frac{2}{3}$ ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}={\left(\frac{2}{3}\right)}^1$ $2x=1$ $x_2=0.5$ Ответ: $0;0.5$ Я могу составить для вас аналогичную задачу для закрепления материала или разобрать более сложный пример с логарифмированием. Что предпочтете?