6sin^2x+5sin(p/2-x)-2=0

Для решения уравнения $6{\sin }^{2}x+5\sin (\frac{\pi }{2}-x)-2=0$ воспользуемся формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством. 1. Преобразование уравнения Используем формулу приведения: $\sin (\frac{\pi }{2}-x)=\cos x$ . Уравнение принимает вид: $6{\sin }^{2}x+5\cos x-2=0$Чтобы уравнение содержало только одну тригонометрическую функцию, выразим ${\sin }^{2}x$ через ${\cos }^{2}x$, используя тождество ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$: $6(1-{\cos }^{2}x)+5\cos x-2=0$2. Раскрытие скобок и упрощение $6-6{\cos }^{2}x+5\cos x-2=0$ $-6{\cos }^{2}x+5\cos x+4=0$Умножим на $-1$ для удобства: $6{\cos }^{2}x-5\cos x-4=0$3. Решение квадратного уравнения Пусть $\cos x=t$, где $\left|t\right|\le 1$. $6t^2-5t-4=0$Найдем дискриминант: $D=(-5{)}^2-4\cdot 6\cdot (-4)=25+96=121={11}^2$Находим корни $t$: $t_1=\frac{5+11}{2\cdot 6}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$ $t_2=\frac{5-11}{12}=\frac{-6}{12}=-0,5$ 4. Обратная подстановка

• Для $t_1=\frac{4}{3}$ : уравнение $\cos x=\frac{4}{3}$ не имеет решений, так как $\frac{4}{3}>1$ . Для $t_2=-0,5$:
  $\cos x=-\frac{1}{2}$ $x=\pm \arccos (-\frac{1}{2})+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=\pm (\pi -\frac{\pi }{3})+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ . Я могу помочь с отбором корней на заданном промежутке, если это необходимо. Хотите, чтобы я привел пример такого отбора?