Выяснить является ли функция четной или нечетной а) y=x^3-sinx б) y=(1-x^2)cosx

Для определения четности или нечетности функции необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат.
2. Сравнить значение $f(-x)$ со значениями $f\left(x\right)$ и $-f\left(x\right)$:
   • Если $f(-x)=f\left(x\right)$, функция четная. Если $f(-x)=-f\left(x\right)$, функция нечетная. Если ни одно из условий не выполняется, функция общего вида.

а) Исследование функции $y=x^3-\sin x$

1. Область определения: $D\left(y\right)=\mathbb{R}$ (все действительные числа), что является симметричным множеством. Подставим $-x$ вместо $x$:
   $y(-x)=(-x{)}^3-\sin (-x)$ Применим свойства степеней и тригонометрических функций:
   • Так как степень нечетная, $(-x{)}^3=-x^3$. Функция синус является нечетной, поэтому $\sin (-x)=-\sin x$.
     $y(-x)=-x^3-(-\sin x)=-x^3+\sin x$
   Вынесем минус за скобки:
   $y(-x)=-(x^3-\sin x)$ Сравним с исходной функцией:
   $y(-x)=-y\left(x\right)$

Вывод: Функция $y=x^3-\sin x$ является нечетной. б) Исследование функции $y=(1-x^2)\cos x$

1. Область определения: $D\left(y\right)=\mathbb{R}$, множество симметрично. Подставим $-x$ вместо $x$:
   $y(-x)=(1-(-x{)}^2\left)\cos \right(-x)$ Применим свойства:
   • Квадрат любого числа неотрицателен: $(-x{)}^2=x^2$. Функция косинус является четной, поэтому $\cos (-x)=\cos x$.
     $y(-x)=(1-x^2)\cos x$
   Сравним с исходной функцией:
   $y(-x)=y\left(x\right)$

Вывод: Функция $y=(1-x^2)\cos x$ является четной. Я могу также помочь с исследованием этих функций на экстремумы или построением их графиков. Хотите разобрать одну из них подробнее?