9^(x-0.5)-8*3^(x-1)+5=0 найти корни уравнения

Для решения уравнения $9^{x-0.5}-8\cdot 3^{x-1}+5=0$ воспользуемся свойствами степеней и методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Приведем все степени к основанию $3$.

• Заметим, что $9=3^2$. Тогда:
  $9^{x-0.5}=(3^2{)}^{x-0.5}=3^{2(x-0.5)}=3^{2x-1}$Используя свойство $a^{n-m}=\frac{a^n}{a^m}$ , получаем:
  $3^{2x-1}=\frac{3^{2x}}{3^1}=\frac{(3^x{)}^2}{3}$ Преобразуем второй член уравнения:
  $8\cdot 3^{x-1}=8\cdot \frac{3^x}{3}=\frac{8}{3}\cdot 3^x$

2. Введение новой переменной Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение: $\frac{(3^x{)}^2}{3}-\frac{8}{3}\cdot 3^x+5=0$ Пусть $3^x=t$, где $t>0$. Подставляем $t$ в уравнение: $\frac{t^2}{3}-\frac{8t}{3}+5=0$ Для удобства умножим все уравнение на $3$: $t^2-8t+15=0$3. Решение квадратного уравнения Решим полученное уравнение через дискриминант $D$ или по теореме Виета: $D=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot 15=64-60=4$ $t=\frac{8\pm \sqrt{4}}{2}=\frac{8\pm 2}{2}$ Получаем два корня:

1. $t_1=\frac{10}{2}=5$ $t_2=\frac{6}{2}=3$

Оба значения удовлетворяют условию $t>0$. 4. Обратная подстановка Теперь найдем $x$, вернувшись к переменной $3^x=t$.

• Для $t_1=5$:
  $3^x=5$По определению логарифма:
  $x_1={\log }_{3}5$ Для $t_2=3$:
  $3^x=3^1$Отсюда:
  $x_2=1$

Ответ: $1$; ${\log }_{3}5$ Хотите, чтобы я проверил эти корни подстановкой в исходное уравнение?