Log7(x-2)+log7(x+2)=log7(4x+41)

Для решения уравнения ${\log }_7(x-2)+{\log }_7(x+2)={\log }_7(4x+41)$ воспользуемся свойствами логарифмов и алгоритмом решения логарифмических уравнений. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

• $x-2>0⟹x>2$ $x+2>0⟹x>-2$ $4x+41>0⟹x>-10.25$

Общим интервалом для всех условий является $x>2$. 2. Преобразование уравнения Используем свойство суммы логарифмов: ${\log }_a\left(b\right)+{\log }_a\left(c\right)={\log }_a(b\cdot c)$. ${\log }_7\left(\right(x-2\left)\right(x+2\left)\right)={\log }_7(4x+41)$Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $(x-2)(x+2)=4x+41$3. Решение квадратного уравнения Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $x^2-4=4x+41$Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду $a{x}^2+bx+c=0$: $x^2-4x-4-41=0$ $x^2-4x-45=0$Найдем корни через дискриминант $D=b^2-4ac$: $D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-45)=16+180=196$ $\sqrt{D}=\sqrt{196}=14$ Вычисляем корни: $x_1=\frac{4+14}{2}=\frac{18}{2}=9$ $x_2=\frac{4-14}{2}=\frac{-10}{2}=-5$ 4. Проверка по ОДЗ Сравним полученные корни с условием $x>2$:

• $x_1=9$: $9>2$ (подходит) $x_2=-5$: $-5<2$ (не подходит, так как логарифм отрицательного числа не определен)

Ответ: $x=9$ Я могу составить для вас аналогичную подборку задач для закрепления темы или разобрать более сложный пример с заменой переменной. Хотите продолжить практику?