2log5 (4-x )* log2x (4-x)=3log5 (4-x)-log5 (2x)

Для решения уравнения $2{\log }_5(4-x)\cdot {\log }_{2x}(4-x)=3{\log }_5(4-x)-{\log }_5\left(2x\right)$ необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ), а затем привести логарифмы к одному основанию. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть положительными, а основание логарифма — положительным и не равным единице:

1. $4-x>0⟹x<4$ $2x>0⟹x>0$ $2x\ne 1⟹x\ne 0.5$

ОДЗ: $x\in (0;0.5)\cup (0.5;4)$ 2. Преобразование уравнения Используем формулу перехода к новому основанию: ${\log }_{2x}(4-x)=\frac{{\log }_5(4-x)}{{\log }_5\left(2x\right)}$ . Подставим это в исходное уравнение: $2{\log }_5(4-x)\cdot \frac{{\log }_5(4-x)}{{\log }_5\left(2x\right)}=3{\log }_5(4-x)-{\log }_5\left(2x\right)$ Для удобства введем замены:

• $a={\log }_5(4-x)$ $b={\log }_5\left(2x\right)$

Уравнение принимает вид: $\frac{2a^2}{b}=3a-b$ Умножим обе части на $b$ (так как $x\ne 0.5$, $b\ne 0$): $2a^2=3ab-b^2$ $2a^2-3ab+b^2=0$3. Решение однородного уравнения Разделим уравнение на $b^2$ (при условии $b\ne 0$): $2{\left(\frac{a}{b}\right)}^2-3\left(\frac{a}{b}\right)+1=0$ Пусть $t=\frac{a}{b}$ . Получаем квадратное уравнение: $2t^2-3t+1=0$Дискриминант $D=(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$. Корни: $t_1=\frac{3+1}{4}=1$ $t_2=\frac{3-1}{4}=0.5$ 4. Обратная замена Случай 1: $t=1$ $\frac{a}{b}=1⟹a=b$ ${\log }_5(4-x)={\log }_5\left(2x\right)$ $4-x=2x$ $3x=4⟹x_1=\frac{4}{3}$ Значение $x=1.33\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$ входит в ОДЗ. Случай 2: $t=0.5$ $\frac{a}{b}=0.5⟹b=2a$ ${\log }_5\left(2x\right)=2{\log }_5(4-x)$ ${\log }_5\left(2x\right)={\log }_5\left(\right(4-x{)}^2)$ $2x=(4-x{)}^2$ $2x=16-8x+x^2$ $x^2-10x+16=0$По теореме Виета или через дискриминант ( $D=100-64=36$): $x_2=\frac{10+6}{2}=8$ (не входит в ОДЗ, так как $8>4$) $x_3=\frac{10-6}{2}=2$ (входит в ОДЗ) Ответ: $x\in \{\frac{4}{3};2\}$ Я могу составить для вас аналогичное задание для закрепления метода замены переменных в логарифмических уравнениях. Хотите?