Апофема правильной пирамиды равна 2 корень из 6 и образует с плоскостью основания угол 45 градусов. найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильной пирамиды и тригонометрическими соотношениями. Ответ: $12\sqrt{12}$ (или $24\sqrt{3}$ ). 1. Анализ проекции апофемы Пусть $L=2\sqrt{6}$ — длина апофемы (высоты боковой грани), а $\alpha ={45}^{\circ }$ — угол между апофемой и плоскостью основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $L$ и радиусом $r$ вписанной в основание окружности. В этом треугольнике апофема является гипотенузой, а радиус $r$ — катетом, прилежащим к углу $\alpha$. $r=L\cdot \cos \left({45}^{\circ }\right)=2\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ 2. Определение стороны основания В правильной $n$-угольной пирамиде радиус вписанной окружности $r$ связан со стороной основания $a$ формулой $r=\frac{a}{2\text{tg}\left(\frac{{180}^{\circ }}{n}\right)}$ .

• Если пирамида четырехугольная ( $n=4$): $r=\frac{a}{2}a=2r=2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$ . Если пирамида треугольная ( $n=3$): $r=\frac{a}{2\sqrt{3}}a=2\sqrt{3}r=2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=12$ .

3. Вычисление площади боковой поверхности Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле: $S_{бок}=\frac{1}{2}{P}_{осн}\cdot L$ где $P_{осн}$ — периметр основания.

• Для четырехугольной пирамиды ( $P=4a$):
  $S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot (4\cdot 2\sqrt{12})\cdot 2\sqrt{6}=4\sqrt{12}\cdot 2\sqrt{6}=8\sqrt{72}=8\cdot 6\sqrt{2}=48\sqrt{2}$ Для треугольной пирамиды ( $P=3a$):
  $S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot (3\cdot 12)\cdot 2\sqrt{6}=36\sqrt{6}$

Примечание: В условии не указан вид пирамиды (треугольная, четырехугольная и т.д.). Однако существует универсальная формула связи площади боковой поверхности и площади основания через угол $\alpha$ наклона боковой грани: $S_{осн}=S_{бок}\cdot \cos \left(\alpha \right)S_{бок}=\frac{S_{осн}}{\cos \left({45}^{\circ }\right)}$ Без уточнения типа многоугольника в основании (количества граней) конечный числовый результат может варьироваться. Если предположить, что в задаче подразумевается стандартная связь через проекцию, расчет выше для конкретных типов фигур является исчерпывающим. Ответ Площадь боковой поверхности зависит от количества сторон основания; для правильной четырехугольной пирамиды она составляет $48\sqrt{2}$ , для правильной треугольной — $36\sqrt{6}$ . Хотите уточнить количество граней пирамиды или рассчитать объем при этих же данных?