(arctgx)^x производная

Для нахождения производной функции вида $y=f(x{)}^{g\left(x\right)}$ используется метод логарифмического дифференцирования, так как и основание, и показатель степени зависят от переменной $x$. 1. Представление функции через экспоненту Используем основное логарифмическое тождество $a^b=e^{b\ln a}$: $y=(\text{arctg}x{)}^x=e^{x\ln \left(\text{arctg}x\right)}$2. Применение правила дифференцирования сложной функции Производная функции $e^{u\left(x\right)}$ равна $e^{u\left(x\right)}\cdot u^{\prime }\left(x\right)$. В нашем случае $u\left(x\right)=x\ln \left(\text{arctg}x\right)$. $y^{\prime }=e^{x\ln \left(\text{arctg}x\right)}\cdot \frac{d}{dx}\left[x\ln \right(\text{arctg}x\left)\right]$ 3. Дифференцирование произведения Применим правило $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ к выражению в скобках:

• Пусть $u=x$, тогда $u^{\prime }=1$. Пусть $v=\ln \left(\text{arctg}x\right)$, тогда по правилу сложной функции:
  $v^{\prime }=\frac{1}{\text{arctg}x}\cdot (\text{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\text{arctg}x}\cdot \frac{1}{1+x^2}$

Соберем производную произведения: $\frac{d}{dx}\left[x\ln \right(\text{arctg}x\left)\right]=1\cdot \ln \left(\text{arctg}x\right)+x\cdot \frac{1}{\text{arctg}x(1+x^2)}$ 4. Итоговая сборка Заменим экспоненту обратно на исходную функцию $(\text{arctg}x{)}^x$: $y^{\prime }=(\text{arctg}x{)}^x\left(\ln \right(\text{arctg}x)+\frac{x}{(1+x^2)\text{arctg}x})$ Ответ: $\frac{d}{dx}\left[\right(\text{arctg}x{)}^x]=(\text{arctg}x{)}^x\left(\ln \right(\text{arctg}x)+\frac{x}{(1+x^2)\text{arctg}x})$ Могу также вычислить значение этой производной в конкретной точке или разобрать другой пример.