Число 2011 умножили само на себя 2014 раз. найдите две последние цифры полученного числа.

Последними двумя цифрами полученного числа являются 41, если под выражением «умножили само на себя 2014 раз» подразумевается возведение в степень $2014$. Если же имеется в виду, что операция умножения была произведена 2014 раз (что соответствует 2015 множителям), то последние две цифры — 51. В математических задачах чаще всего подразумевается возведение в указанную степень. ️ Шаг 1: Упрощение основания по модулю 100 Для нахождения двух последних цифр числа необходимо вычислить остаток от его деления на $100$. Заметим, что: $2011\equiv 11\left(\mathrm{mod}100\right)$Следовательно, последние две цифры числа ${2011}^{2014}$ будут такими же, как у числа ${11}^{2014}$. ️ Шаг 2: Применение бинома Ньютона Разложим ${11}^n$ как $(10+1{)}^n$ и воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(10+1{)}^n=\left(\frac{n}{0}\right)\cdot {10}^0+\left(\frac{n}{1}\right)\cdot {10}^1+\left(\frac{n}{2}\right)\cdot {10}^2+\dots$ Поскольку мы ищем остаток по модулю $100$, все слагаемые, содержащие ${10}^k$ при $k\ge 2$ (то есть $100,1000$ и т. д.), будут равны $0\left(\mathrm{mod}100\right)$. Остаются только первые два члена: ${11}^n\equiv \left(\frac{n}{0}\right)\cdot 1+\left(\frac{n}{1}\right)\cdot 10\left(\mathrm{mod}100\right)$ ${11}^n\equiv 1+10n\left(\mathrm{mod}100\right)$️ Шаг 3: Вычисление для n = 2014 Подставим $n=2014$: ${11}^{2014}\equiv 1+10\cdot 2014\left(\mathrm{mod}100\right)$ ${11}^{2014}\equiv 1+20140\left(\mathrm{mod}100\right)$Так как $20140\equiv 40\left(\mathrm{mod}100\right)$, получаем: $1+40=41$ Ответ: Две последние цифры — 41. Желаете ли вы рассмотреть вариант, в котором количество множителей равно 2014, или это решение полностью покрывает ваш запрос?