Cos 2α - sin^2α / 2sin^2α - cos^2α

Для упрощения данного тригонометрического выражения воспользуемся основными формулами двойного угла и основным тригонометрическим тождеством. Исходное выражение: $\frac{\cos 2\alpha -{\sin }^2\alpha }{2{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }$ Шаг 1: Раскрытие косинуса двойного угла Используем формулу $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$. Подставим её в числитель: $\text{Числитель}=({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )-{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha -2{\sin }^2\alpha$Шаг 2: Преобразование знаменателя Знаменатель имеет вид $2{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha$. Заметим, что он отличается от полученного числителя только знаками: $\text{Знаменатель}=2{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha =-({\cos }^2\alpha -2{\sin }^2\alpha )$Шаг 3: Сокращение дроби Теперь запишем всё выражение целиком, используя полученные преобразования: $\frac{{\cos }^2\alpha -2{\sin }^2\alpha }{-({\cos }^2\alpha -2{\sin }^2\alpha )}$ Так как числитель и выражение в скобках в знаменателе идентичны, они сокращаются (при условии, что ${\cos }^2\alpha -2{\sin }^2\alpha \ne 0$): $\frac{1}{-1}=-1$ Альтернативный способ (через тангенс) Если разделить числитель и знаменатель на ${\cos }^2\alpha$, выражение примет вид:

1. Числитель: $\frac{\cos 2\alpha }{{\cos }^2\alpha }-{\tan }^2\alpha =\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }-{\tan }^2\alpha =1-{\tan }^2\alpha -{\tan }^2\alpha =1-2{\tan }^2\alpha$ . Знаменатель: $2{\tan }^2\alpha -1$. Итог: $\frac{1-2{\tan }^2\alpha }{2{\tan }^2\alpha -1}=-1$ .

Ответ: $-1$ Я могу помочь вам с решением других тригонометрических тождеств или упрощением сложных уравнений.