Решите уравнение √(4x+1)=2x-1

Для решения уравнения $\sqrt{4x+1}=2x-1$ необходимо выполнить возведение обеих частей в квадрат, учитывая область допустимых значений и условия равносильности. 1. Определение условий (ОДЗ) Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел. Кроме того, поскольку корень всегда неотрицателен, правая часть уравнения также должна быть больше или равна нулю:

1. Подкреневое выражение: $4x+1\ge 0⟹x\ge -0,25$ Правая часть: $2x-1\ge 0⟹x\ge 0,5$

Общее условие для поиска корней: $x\ge 0,5$. 2. Возведение в квадрат Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{4x+1}{)}^2=(2x-1{)}^2$ $4x+1=(2x{)}^2-2\cdot 2x\cdot 1+1^2$ $4x+1=4x^2-4x+1$3. Решение полученного уравнения Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $4x^2-4x+1-4x-1=0$ $4x^2-8x=0$Разложим на множители, вынеся общий множитель за скобки: $4x(x-2)=0$Отсюда получаем два возможных корня:

1. $4x=0⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{0}$ $x-2=0⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{2}$

4. Проверка корней Сопоставим полученные значения с условием $x\ge 0,5$:

• $x_1=0$: Не удовлетворяет условию $x\ge 0,5$.
  (Проверка подстановкой: $\sqrt{4\left(0\right)+1}=1$ , а $2\left(0\right)-1=-1$. $1\ne -1$). $x_2=2$: Удовлетворяет условию $2\ge 0,5$.
  (Проверка подстановкой: $\sqrt{4\left(2\right)+1}=\sqrt{9}=3$ , и $2\left(2\right)-1=3$. $3=3$).

Ответ: $x=2$. Я могу помочь вам с решением других иррациональных уравнений или разобрать смежные темы из алгебры. Хотите, чтобы я подготовил аналогичный пример для закрепления материала?