Cos a, sin a, ctg a, если tg a =-4/11, п<а<3/2п

Для нахождения значений тригонометрических функций при заданном $\text{tg}\alpha =-\frac{4}{11}$ , необходимо сначала обратить внимание на указанный интервал угла $\alpha$: $\pi <\alpha <\frac{3}{2}\pi$ (третья четверть). Однако здесь присутствует математическое противоречие: в третьей четверти значения синуса и косинуса отрицательны, следовательно, их отношение — тангенс — должно быть положительным. Тангенс отрицателен во второй и четвертой четвертях. Если следовать условию $\pi <\alpha <\frac{3}{2}\pi$ , то $\text{tg}\alpha$ не может равняться $-\frac{4}{11}$ . Вероятно, в условии допущена опечатка либо в знаке тангенса, либо в границах интервала. Ниже приведен расчет исходя из того, что тангенс равен $-4/11$, а знаки функций определяются принадлежностью к четвертой четверти ( $\frac{3}{2}\pi <\alpha <2\pi$ ), где тангенс отрицателен. 1. Нахождение $\text{ctg}\alpha$ Котангенс является обратной функцией тангенса: $\text{ctg}\alpha =\frac{1}{\text{tg}\alpha }=\frac{1}{-4/11}=-2.75\text{или}-\frac{11}{4}$ 2. Нахождение $\cos \alpha$ Используем тригонометрическое тождество: $1+{\text{tg}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ .

1. Подставляем значение тангенса: $1+(-\frac{4}{11}{)}^2=1+\frac{16}{121}=\frac{121+16}{121}=\frac{137}{121}$ Следовательно: ${\cos }^2\alpha =\frac{121}{137}$ Извлекаем корень: $\cos \alpha =\pm \frac{11}{\sqrt{137}}$

В четвертой четверти косинус положителен: $\cos \alpha =\frac{11}{\sqrt{137}}=\frac{11\sqrt{137}}{137}$ 3. Нахождение $\sin \alpha$ Используем формулу $\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }⟹\sin \alpha =\text{tg}\alpha \cdot \cos \alpha$ .

1. Подставляем значения: $\sin \alpha =(-\frac{4}{11})\cdot \frac{11}{\sqrt{137}}$ Сокращаем на 11: $\sin \alpha =-\frac{4}{\sqrt{137}}$

В четвертой четверти синус отрицателен, что соответствует полученному результату: $\sin \alpha =-\frac{4\sqrt{137}}{137}$ Итоговые значения (для IV четверти):

• $\cos \alpha =\frac{11}{\sqrt{137}}$
• $\sin \alpha =-\frac{4}{\sqrt{137}}$
• $\text{ctg}\alpha =-\frac{11}{4}$

Если же принципиально условие третьей четверти ( $\pi <\alpha <\frac{3}{2}\pi$ ), то $\text{tg}\alpha$ обязан быть положительным ( $4/11$). В этом случае знаки синуса и косинуса были бы оба отрицательными: $\cos \alpha =-11/\sqrt{137}$ и $\sin \alpha =-4/\sqrt{137}$ . Хотите, я пересчитаю значения для случая, если тангенс всё же положительный ( $\text{tg}\alpha =4/11$)?