Cos^2x-sin2x=1 решить и узнать количество корней

Для решения уравнения ${\cos }^{2}x-\sin 2x=1$ воспользуемся тригонометрическими тождествами и методами разложения на множители. 1. Преобразование уравнения Используем основное тригонометрическое тождество ( ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$) и формулу двойного угла для синуса ( $\sin 2x=2\sin x\cos x$).

1. Перенесем единицу в левую часть:
   ${\cos }^{2}x-\sin 2x-1=0$ Заменим $1$ на $({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)$:
   ${\cos }^{2}x-\sin 2x-({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)=0$ Раскроем скобки и упростим:
   ${\cos }^{2}x-\sin 2x-{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=0$ $-{\sin }^{2}x-\sin 2x=0$ Умножим на $-1$ и разложим $\sin 2x$:
   ${\sin }^{2}x+2\sin x\cos x=0$

2. Решение уравнения Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $\sin x(\sin x+2\cos x)=0$Это уравнение распадается на два случая: Случай А: $\sin x=0$ $x_1=\pi n,n\in \mathbb{Z}$Случай Б: $\sin x+2\cos x=0$Разделим обе части на $\cos x$ (так как если $\cos x=0$, то и $\sin x=0$, что невозможно одновременно): $\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{2\cos x}{\cos x}=0$ $\tan x+2=0$ $\tan x=-2$ $x_2=\arctan \left(-2\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$Или, используя нечетность арктангенса: $x_2=-\arctan \left(2\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$3. Количество корней Уравнение задано на бесконечной области определения, поэтому оно имеет бесконечное множество корней. Если рассматривать количество корней на стандартном промежутке длиной $2\pi$ (например, $[0;2\pi )$):

• Из первой серии $x=\pi n$ имеем 2 корня: $0$ и $\pi$. Из второй серии $x=-\arctan \left(2\right)+\pi k$ имеем 2 корня в пределах одного периода $2\pi$.

Итого: 4 корня на периоде $2\pi$. В общем виде количество корней бесконечно. Ответ:

• Корни: $x=\pi n$ и $x=-\arctan 2+\pi k$, где $n,k\in \mathbb{Z}$. Количество корней: Бесконечное множество.

Я могу помочь отобрать корни этого уравнения на конкретном числовом промежутке, если вы его укажете.