Докажите тождество : tg2a*1-tg^2a/1+tg^2a=sin2a

Для доказательства тождества $\text{tg}2\alpha \cdot \frac{1-{\text{tg}}^2\alpha }{1+{\text{tg}}^2\alpha }=\sin 2\alpha$ воспользуемся основными тригонометрическими формулами. Шаг 1: Преобразование множителей Рассмотрим левую часть выражения по частям.

1. Формула тангенса двойного угла:
   $\text{tg}2\alpha =\frac{2\text{tg}\alpha }{1-{\text{tg}}^2\alpha }$ Упрощение дроби $\frac{1-{\text{tg}}^2\alpha }{1+{\text{tg}}^2\alpha }$ :
   Вспомним универсальную тригонометрическую подстановку для косинуса через тангенс половинного угла. В данном случае аргументом является $\alpha$, следовательно:
   $\cos 2\alpha =\frac{1-{\text{tg}}^2\alpha }{1+{\text{tg}}^2\alpha }$

Шаг 2: Подстановка в исходное выражение Подставим полученные выражения в левую часть (ЛЧ) тождества: $\text{ЛЧ}=\left(\frac{2\text{tg}\alpha }{1-{\text{tg}}^2\alpha }\right)\cdot \left(\frac{1-{\text{tg}}^2\alpha }{1+{\text{tg}}^2\alpha }\right)$ Заметим, что множитель $(1-{\text{tg}}^2\alpha )$ присутствует и в числителе, и в знаменателе. При условии, что $\text{tg}\alpha \ne \pm 1$, мы можем сократить эти выражения: $\text{ЛЧ}=\frac{2\text{tg}\alpha }{1+{\text{tg}}^2\alpha }$ Шаг 3: Переход к синусу и косинусу Распишем $\text{tg}\alpha$ через отношение $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ( $1+{\text{tg}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ ):

1. Числитель: $2\text{tg}\alpha =\frac{2\sin \alpha }{\cos \alpha }$ Знаменатель: $1+{\text{tg}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$

Объединяем: $\text{ЛЧ}=\frac{\frac{2\sin \alpha }{\cos \alpha }}{\frac{1}{{\cos }^2\alpha }}=\frac{2\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot {\cos }^2\alpha$ Сокращаем на $\cos \alpha$: $\text{ЛЧ}=2\sin \alpha \cos \alpha$Шаг 4: Применение формулы синуса двойного угла Согласно формуле двойного аргумента: $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$Таким образом: $\sin 2\alpha =\sin 2\alpha$Тождество доказано. Хотите, чтобы я разобрал аналогичное доказательство для косинуса двойного угла или другого тригонометрического выражения?