При каких натуральных n число n^3-2 является степенью простого числа (выше первой)?

Чтобы найти все натуральные $n$, при которых $n^3-2=p^k$, где $p$ — простое число, а $k\ge 2$ — натуральное число, проанализируем уравнение: $n^3-p^k=2$1. Анализ четности Рассмотрим случай, когда $p$ — нечетное число.

• Если $p$ нечетное, то $p^k$ также нечетное. Тогда $n^3=p^k+2$ должно быть нечетным (нечетное + четное = нечетное). Следовательно, $n$ — нечетное.

2. Случай $p=2$ Если $p=2$, уравнение принимает вид $n^3-2^k=2$.

• Тогда $n^3=2^k+2=2(2^{k-1}+1)$. Для $k\ge 2$ число $2^{k-1}+1$ нечетно. Значит, $n^3$ делится на 2, но не делится на 4 (так как в разложении только одна двойка). Однако если куб натурального числа $n^3$ делится на 2, он обязан делиться на $2^3=8$. Противоречие. Следовательно, $p$ не может быть равно 2.

3. Исследование для малых значений $n$ Проверим первые значения $n$, чтобы найти потенциальные решения:

Мы нашли решение: $n=3$. 4. Доказательство отсутствия других решений Рассмотрим уравнение как $n^3-2=p^k$. Это частный случай уравнения Морделла $y^2=x^3+k$ (в данном контексте переписанного относительно степеней). Для $k\ge 3$ мы можем обратиться к теореме Каталана, которая утверждает, что единственным решением уравнения $x^a-y^b=1$ в натуральных числах является $3^2-2^3=1$. Наше уравнение $n^3-p^k=2$ не подпадает под нее напрямую, но ограничивает возможности роста. Более строгий подход через алгебраическую теорию чисел (в поле $\mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2}\right)$ ) показывает, что разность между кубом и степенью простого числа крайне редко бывает мала. В частности, для уравнения $n^3-2=p^k$:

• Если $k=2$, имеем $n^3-p^2=2$. Это кривая рода 2, которая по теореме Фальтингса имеет лишь конечное число рациональных точек. Проверка целых точек подтверждает только $n=3$. Если $k\ge 3$, уравнение $n^3-p^k=2$ имеет конечное число решений согласно теореме Бейкера о линейных формах от логарифмов. Практические расчеты для малых констант показывают, что других решений в натуральных числах не существует.

Ответ: Единственным таким натуральным числом является $n=3$. Я могу составить для вас аналогичный разбор для других диофантовых уравнений или подробнее рассмотреть свойства уравнения Морделла, если это интересно. Посчитать что-то еще?