Найти производную функции y=x/3-4/x^2+√x

Для нахождения производной функции $y=\frac{x}{3}-\frac{4}{x^2}+\sqrt{x}$ необходимо сначала привести каждое слагаемое к виду степенной функции $x^n$. 1. Преобразование функции Перепишем дробные выражения и корень через степени:

• $\frac{x}{3}=\frac{1}{3}x$ $\frac{4}{x^2}=4x^{-2}$ $\sqrt{x}=x^{1/2}$

Теперь исходная функция выглядит так: $y=\frac{1}{3}x-4x^{-2}+x^{1/2}$ 2. Дифференцирование Применим правила дифференцирования: $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$ и $(c{x}^n{)}^{\prime }=c\cdot n\cdot x^{n-1}$.

• Первое слагаемое:
  $(\frac{1}{3}x{)}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot x^0=\frac{1}{3}$ Второе слагаемое:
  $(-4x^{-2}{)}^{\prime }=-4\cdot (-2)\cdot x^{-2-1}=8x^{-3}$ Третье слагаемое:
  $(x^{1/2}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{1/2-1}=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$

3. Итоговый результат Сложим полученные части: $y^{\prime }=\frac{1}{3}+8x^{-3}+\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$ Для удобства вернем отрицательные степени и дробные показатели в стандартный вид дробей и корней: $y^{\prime }=\frac{1}{3}+\frac{8}{x^3}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$ Ответ: $y^{\prime }=\frac{1}{3}+\frac{8}{x^3}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$ Я могу составить для вас таблицу значений этой производной в конкретных точках или помочь с нахождением экстремумов этой функции.