Cosx+cos2x=0 решите уровнение

Для решения уравнения $\cos \left(x\right)+\cos \left(2x\right)=0$ можно воспользоваться двумя основными методами: через формулу суммы косинусов или через приведение к квадратному уравнению. Способ 1: Использование формулы суммы косинусов Воспользуемся тригонометрической формулой: $\cos \left(\alpha \right)+\cos \left(\beta \right)=2\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$ Применим её к нашему уравнению, где $\alpha =2x$, а $\beta =x$: $2\cos \left(\frac{2x+x}{2}\right)\cos \left(\frac{2x-x}{2}\right)=0$ $2\cos \left(\frac{3x}{2}\right)\cos \left(\frac{x}{2}\right)=0$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $\cos \left(\frac{3x}{2}\right)=0$
   $\frac{3x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Умножим на $\frac{2}{3}$ :
   $x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3},n\in \mathbb{Z}$ $\cos \left(\frac{x}{2}\right)=0$
   $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Умножим на $2$:
   $x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Способ 2: Приведение к квадратному уравнению Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos \left(2x\right)=2{\cos }^2\left(x\right)-1$. Подставим это в исходное уравнение: $\cos \left(x\right)+\left(2{\cos }^2\right(x)-1)=0$ $2{\cos }^2\left(x\right)+\cos \left(x\right)-1=0$Пусть $\cos \left(x\right)=t$, где $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $2t^2+t-1=0$Находим дискриминант: $D=1^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9$ $t=\frac{-1\pm 3}{4}$ Корни уравнения:

• $t_1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $t_2=\frac{-4}{4}=-1$

Обратная замена:

1. $\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}$
   $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $\cos \left(x\right)=-1$
   $x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Ответ Оба способа дают идентичный набор точек на числовой окружности. Записать ответ можно в виде:

• $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$
• $x=\pi +2\pi k$
  (где $n,k\in \mathbb{Z}$)

Или в объединенном виде из первого способа:

• $x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3}$
• $x=\pi +2\pi k$

Могу также выполнить отбор корней на заданном промежутке, если это необходимо.