Cosx+(корень из 3)*sinx=sin(x/2-пи/6)

Для решения уравнения $\cos x+\sqrt{3}\sin x=\sin (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6})$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла для левой части. 1. Преобразование левой части Разделим и умножим левую часть на $2$ (так как $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$ ): $2(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x)=\sin (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6})$ Заметим, что $\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$ . Тогда по формуле синуса суммы $\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha +\beta )$: $2\sin (x+\frac{\pi }{6})=\sin (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6})$ 2. Решение уравнения Полученное уравнение не приводится к виду $\sin A=\sin B$ напрямую из-за коэффициента $2$. Разложим левую часть по формуле синуса суммы, а правую — по формуле синуса разности: $2(\sin x\cos \frac{\pi }{6}+\cos x\sin \frac{\pi }{6})=\sin \frac{x}{2}\cos \frac{\pi }{6}-\cos \frac{x}{2}\sin \frac{\pi }{6}$ $2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}$ $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}}{2}$ Применим формулы двойного угла для $\sin x$ и $\cos x$ через аргумент $\frac{x}{2}$ :

• $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ $\cos x={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}$

Подставим и перенесем всё в одну сторону: $2\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \frac{x}{2}+\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}=0$ Это однородное уравнение (после деления на ${\cos }^2\frac{x}{2}$ ) или решаемое разложением на множители. Однако проще вернуться к исходному виду $2\sin (x+\frac{\pi }{6})=\sin (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6})$ и использовать замену переменной. Пусть $t=\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}$ , тогда $x=2t+\frac{\pi }{3}$ . Подставим в уравнение: $2\sin (2t+\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6})=\sin t$ $2\sin (2t+\frac{\pi }{2})=\sin t$ Используя формулу приведения $\sin (2t+\frac{\pi }{2})=\cos 2t$ : $2\cos 2t=\sin t$ $2(1-2{\sin }^{2}t)=\sin t$ $4{\sin }^{2}t+\sin t-2=0$3. Нахождение корней Решим квадратное уравнение относительно $y=\sin t$: $4y^2+y-2=0$ $D=1^2-4\cdot 4\cdot \left(-2\right)=1+32=33$ $y_1=\frac{-1+\sqrt{33}}{8},y_2=\frac{-1-\sqrt{33}}{8}$ Оба значения лежат в интервале $[-1,1]$, так как $\sqrt{33}\approx 5.74$ . Вернемся к переменной $x$:

1. $\sin (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6})=\frac{-1+\sqrt{33}}{8}⟹\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}=(-1{)}^k\arcsin \left(\frac{\sqrt{33}-1}{8}\right)+\pi k$
   $x=\frac{\pi }{3}+2(-1{)}^k\arcsin \left(\frac{\sqrt{33}-1}{8}\right)+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $\sin (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6})=\frac{-1-\sqrt{33}}{8}⟹\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}=(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{-1-\sqrt{33}}{8}\right)+\pi n$
   $x=\frac{\pi }{3}+2(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{-1-\sqrt{33}}{8}\right)+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=\frac{\pi }{3}+2(-1{)}^k\arcsin \left(\frac{\sqrt{33}-1}{8}\right)+2\pi k$ ; $x=\frac{\pi }{3}-2(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{\sqrt{33}+1}{8}\right)+2\pi n$ , где $k,n\in \mathbb{Z}$. Могу ли я помочь с отбором корней на конкретном промежутке для этого уравнения?